Question

Graficar función a trozos encontrando los valores de a y/o b\ que hace que la función sea continua.
(GeoGebra). Demostrar Matemáticamente que la función es continua en el valor hallado.

Answer 1

La primera función f(x) es continua en    x  =  1    y    x  =  3    si se cumple que los valores de    a  y  b    son:    a  =  -1/6    y    b  =  -5/6

La segunda función f(x) es continua en    x  =  2    si se cumple que el valor de a es:    a  =  6

Explicación:

Una función f(x) es continua en un valor dado    x  =  α    si se cumple que:

$\bold{f(\alpha)~=~\lim_{x\to \alpha}f_(x)}$

A su vez, para que el límite dado antes exista deben existir y ser iguales los límites laterales.  

Primera función:  

Ya que    f(1)  y  f(3)    están definidas, vamos a plantear los límites laterales en esos puntos y los igualamos a los valores de la función. De esta forma se obtiene, por cada límite, una ecuación lineal que nos permite hallar los valores de a y b.

VALOR    x  =  1

1.-    f(1)  =  4a(1)  +  4b

2.- $\begin{cases}\lim_{x\to\ 1^{-}}(ax~+~bx~-~3)~=~a~+~b~-~3\\ \lim_{x\to\ 1^{+}}(4ax~+~4b)~=~4a~+~4b\end{cases}$

3.- Los límites laterales son iguales, para que el límite exista:

$a~+~b~-~3~=~4a~+~4b\qquad\Rightarrow\qquad\bold{a~+~b~=~-1}$

VALOR    x  =  3

1.-    f(3)  =  -6  +  a  -  b

2.- $\begin{cases}\lim_{x\to\ 3^{-}}(4ax~+~4b)~=~12a~+~4b\\ \lim_{x\to\ 3^{+}}(-6~+~a~-~b)~=~-6~+~a~-~b\end{cases}$

3.- Los límites laterales son iguales, para que el límite exista:

$12a~+~4b~=~-6~+~a~-~b\qquad\Rightarrow\qquad\bold{11a~+~5b~=~-6}$

Con las ecuaciones en el paso 3 de cada valor construimos un sistema:

a  +  b  =  -1

11a  +  5b  =  -6

Aplicando el método de reducción, multiplicamos la primera ecuación por (-5) y sumamos, obteniendo:

6a  =  -1        ⇒        a  =  -1/6        ⇒        b  =  -5/6

Al sustituir estos valores en el paso 2 del valor  x  =  1  se obtiene que el límite vale  -4,  lo que coincide con el valor de la función en el punto.

Al sustituir estos valores en el paso 2 del valor  x  =  3  se obtiene que el límite vale  -16/3,  lo que coincide con el valor de la función en el punto.

La primera función f(x) es continua en    x  =  1    y    x  =  3    si se cumple que los valores de    a  y  b    son:    a  =  -1/6    y    b  =  -5/6

Segunda función:  

Ya que    f(2)    está definida, vamos a plantear los límites laterales en ese punto y los igualamos al valor de la función. De esta forma se obtiene, por cada límite, una ecuación lineal que nos permite hallar el valor de a.

1.-    f(2)  =  -(2)  +  3a

2.- $\begin{cases} {\lim_{x\to\ 2^{-}}(x^{2}~+~2a)~=~4~+~2a\\ </p><p>\lim_{x\to\ 2^{+}}(-x~+~3a)~=~-2~+~3a \end{cases}$

3.- Los límites laterales son iguales, para que el límite exista:

$4~+~2a~=~-2~+~3a\qquad\Rightarrow\qquad \bold{a~=~6}$

4.- El límite existe y es igual a la función evaluada en el punto:

$\bold{\lim_{x\to\ 2^{-}}f_{(x)}~=~\lim_{x\to\ 2^{+}}f_{(x)}~=~6~=~f_{(2)}}$

La segunda función f(x) es continua en    x  =  2    si se cumple que el valor de a es:    a  =  6