Question

necesito el procedimiento de como obtener la integral e^x cos(x) dx

Answer 1

Respuesta:

$\int{cos(x)*e^x dx} = \frac{e^x[cos(x) + sen(x)]}{2}$

Explicación paso a paso:

Hola!

Resolveremos esta integral por partes, recordando que la formula para ello es:

$\int{u*dv} = u*v -\int {v*du}$

tomaremos como:

$u=cos(x)\\dv=e^x dx$

por lo que:

$du=-sen(x)dx\\v=e^x$

sustituyendo:

$\int{cos(x)*e^x dx} = cos(x)*e^x -\int {e^x*-sen(x)dx} \\\int{cos(x)*e^x dx} = cos(x)*e^x +\int {e^x*sen(x)dx}$  ec. 1

aplicando nuevamente integral por partes, ahora a: $\int {e^x*sen(x)dx}$ y tomando como u y dv los siguientes valores:

$u=sen(x)\\dv=e^x dx$

tenemos que:

$du=cos(x)dx\\v=e^x$

por lo que el resultado de este paso es:

$\int {e^x*sen(x)dx}= sen(x)*e^x-\int {e^x*cos(x)} \, dx$  ec. 2

sustituyendo ec. 2 en ec. 1 tenemos:

$\int{cos(x)*e^x dx} = cos(x)*e^x + sen(x)*e^x-\int {e^x*cos(x)} \, dx$

pasando la integral negativa al otro lado de la igualdad, y como son iguales sumandolas queda:

$2\int{cos(x)*e^x dx} = cos(x)*e^x + sen(x)*e^x$

factorizando:

$2\int{cos(x)*e^x dx} = e^x[cos(x) + sen(x)]$

despejando la integral:

$\int{cos(x)*e^x dx} = \frac{e^x[cos(x) + sen(x)]}{2}$

y de esta forma hemos llegado a la solución.