Question

Consultar la aceleración gravitacional en todos los planetas del sistema solar y justificar la dependencia del lanzamiento parabólico con respecto a estos valores.

Answer 1

El experimento del tiro parabólico en un planeta dará que tanto el alcance como la altura máxima alcanzada son inversamente proporcionales a la aceleración gravitatoria.

Explicación:

Para cualquier planeta, siendo R el radio planetario y M la masa planetaria, su aceleración gravitacional es:

$g=G\frac{M}{r^2}$

De modo que conociendo el radio y la masa en relación  con la Tierra se puede hallar su aceleración gravitacional comparada con la de la Tierra, si lo hacemos tendremos estos datos:

$g_{mer}=3,7\frac{m}{s^2}\\\\g_{Venus}=8,87\frac{m}{s^2}\\\\g_{Tierra}=9,81\frac{m}{s^2}\\\\g_{Marte}=3,71\frac{m}{s^2}\\\\g_{Jup}=24,8\frac{m}{s^2}\\\\g_{Sat}=10,4\frac{m}{s^2}\\\\g_{Urano}=8,69\frac{m}{s^2}\\\\g_{Nep}=11,2\frac{m}{s^2}$

En cuanto al lanzamiento parabólico, si componemos las ecuaciones horarias de posición horizontal y de posición vertical tenemos:

$y=y_0+v_0.sen(\theta).t-\frac{1}{2}gt^2\\x=x_0+v_0.cos(\theta).t\\\\x_0=0; y_0=0\\\\y=x.tan(\theta)-\frac{1}{2}.g.\frac{x^2}{v_0^2.cos^2(\theta)}$

De esta expresión concluimos que la trayectoria dependerá de la aceleración gravitatoria. Cuanto mayor sea la aceleración gravitatoria menor será la altura máxima alcanzada a igual velocidad e igual ángulo de lanzamiento:

$x_{v}=-\frac{x.tan(\theta)}{-2\frac{1}{2}g\frac{1}{cos^2(\theta)}}\\\\x_{v}=\frac{x.sen(\theta)cos(\theta)}{g}\\\\y_{max}=\frac{x.sen(\theta)cos(\theta)}{g}.tan(\theta)-\frac{1}{2}g(\frac{x.sen(\theta)cos(\theta)}{g})^2\\\\y_{max}=\frac{x.cos^2(\theta)}{g}-\frac{x^2sen^2(\theta)cos^2(\theta)}{2g}$

Y también será menor el alcance a igual velocidad e igual ángulo de lanzamiento cuanto mayor sea la aceleración gravitatoria.

$x.tan(\theta)=\frac{1}{2}g\frac{x^2}{v_0^2.cos^2(\theta)}\\\\x_{max}=\frac{2v_0.sen(\theta).cos(\theta)}{g}$