Question

Un punto se mueve de tal manera que la suma de los cuadrados de sus
distancias a los puntos (0,3), (3,0) y (-2,-2) es siempre igual a 30

Encontrar las coordenadas del punto,

Answer 1

Las coordenadas del punto son:

x₁ = y₁  = 22.66

ó

x₂ = y₂ = -19.66

Explicación paso a paso:

Datos;

Un punto se mueve de tal manera que la suma de los cuadrados de sus  

distancias a los puntos (0,3), (3,0) y (-2,-2) es siempre igual a 30.

Ecuación de distancia entre dos puntos;

d = √[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²]

sustituir;

30 = √[(x₁-0)²+(y₁-3)²] ⇒ 30² = (x₁)²+(y₁-3)²   (1)

30 = √[(x₁-3)²+(y₁-0)²] ⇒ 30² = (x₁-3)²+(y₁)²   (2)

30 = √[(x₁+2)²+(y₁+2)²] ⇒ 30² = (x₁+2)²+(y₁+2)²   (3)

Igualar 1 y 2;

(x₁)²+(y₁-3)² = (x₁-3)²+(y₁)²  

Aplicar binomio cuadrado;

x₁² + y₁² - 6y₁ + 9 = x₁²-6x₁ + 9 + y₁²

- 6y₁ = -6x₁

y₁ = x₁

   

Sustituir 1;  

30² = (x₁)²+(x₁-3)²

Aplicar binomio cuadrado;

900  = x₁²+x₁²-6x₁+9

900 = 2x₁² - 6 x₁  + 9

2 x₁² - 6 x₁  + 8- 900 = 0

2 x₁² - 6 x₁  -891 = 0

Aplicar la resolvente;

x₁,₂ = 6 ±√(36-4(2)(-891)/4

x₁,₂ = 6 ±6√199/4

x₁ = 22.66

x₂ = -19.66