Question

Obtenga una ecuación del plano que satisfaga las condiciones indicadas:

Pasa por los puntos (4,2,1) y (-3,5,7), y es paralelo al eje z.

Answer 1

El plano que cumple las condiciones planteadas es 3x+7y-26=0

Explicación paso a paso:

Si el plano es paralelo al eje 'z', significa que el vector (0,0,1) es paralelo al plano, luego otro vector paralelo es el que une a los puntos (4,2,1) y (-3,5,7). Queda:

$v_1=(0,0,1)\\v_2=(4-(-3),2-5,1-7)=(7,-3,-6)$

Con lo cual no hay más que realizar el producto vectorial para hallar el vector asociado al plano:

$v_1\times v_2=det\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\0&0&1\\7&-3&-6\end{array}\right] =i(0-(-3).1)-j(0-7)+k(0-0)\\\\v_1\times v_2=(3,7,0)$

El plano tiene la expresión 3x+7y+d=0, si reemplazamos cualquiera de los dos puntos dados podemos obtener el término independiente:

3.4+7.2+d=0

d=-26

Con lo que el plano queda 3x+7y-26=0.