Question

Determina el área de un triángulo equilatero si su altura mide 30 pulg

Answer 1

Ejercicios con el triángulo equilátero

El triángulo equilátero cuenta con la característica de tener los lados iguales y los ángulos iguales.

Como sabemos que en cualquier triángulo la suma de sus ángulos siempre nos dará 180º, tomamos esa cantidad y la dividimos entre los tres ángulos del equilátero y así obtenemos la medida de un ángulo que es:

180 ÷ 3 = 60º

Para calcular el área necesitamos saber la medida de un lado y la altura. Nos dan la altura y nos toca encontrar la manera de saber lo que mide la base. Para ello nos apoyamos en el ángulo de 60º y la función trigonométrica de la tangente de ese ángulo.

En la imagen que adjunto podrás ver que al trazar la altura se nos divide en dos triángulos rectángulos iguales de tal modo que en uno de esos triángulos conocemos el cateto mayor (la altura de 30 pulgadas) y hemos de calcular el cateto menor que puedes ver que es la mitad del lado.

El cateto opuesto al ángulo de 60º es la altura que conocemos y el cateto adyacente es la mitad de lado que vamos a calcular usando la función tangente que relaciona los dos catetos de cualquier triángulo rectángulo.

Dice que:

Tg. de un ángulo = Cateto opuesto / Cateto adyacente.

La Tg. de 60º, por ser un ángulo ordinario (o notable) la puedo representar con el irracional  √3  y sustituyo valores en la fórmula anterior:

$Tg.\ 60\º=\sqrt{3} =\dfrac{30}{Cat.\ adyacente} \ ...\ despejo\ este\ cateto\ ...\\ \\ \\ Cat.\ adyacente=\dfrac{30}{\sqrt{3} } =\dfrac{30*\sqrt{3} }{3} =10\sqrt{3} =17,3\ pulgadas$

Como ya hemos dicho, esa medida corresponde a la mitad del lado por lo que el lado completo medirá el doble:  10√3 × 2 = 20√3

Ahora solo queda usar la fórmula del área de un triángulo cualquiera:

A = Base × Altura / 2 = 20√3 × 30 / 2 = 300√3 = 519,6 pulg²

Saludos.