Question

resolver el problema de valor inicial indicado
(4y + 2t - 5) dt + (6y + 4t - 1 )dy = 0 , y(-1)=2

Answer 1

La Ecuación Diferencial (ed)  

$\bold{(4y~+~2t~-~5)dt~+~(6y~+~4t~-~1)dy~=~0}$    

es una ed exacta cuya solución general es:    

$\bold{4yt~+~t^{2}~-~5t~+~3y^{2}~-~y~-~8~=~C}$

y solución particular al problema de valores iniciales  

$\bold{4yt~+~t^{2}~-~5t~+~3y^{2}~-~y~-~8~=~0}$

Explicación paso a paso:  

1.- En la ed    

$(4y~+~2t~-~5)dt~+~(6y~+~4t~-~1)dy~=~0$

llamamos  

$M_{(t, y)}~=~4y~+~2t~-~5$  

$N_{(t, y)}~=~6y~+~4t~-~1$  

2.- Calculamos las derivadas parciales de M con respecto a     y     y de N con respecto a    t,     con la finalidad de compararlas y verificar si se trata de una ed exacta, en caso de ser iguales.  

∂M/∂y  =  4        =        ∂N/∂t  =  4

3.- Como las derivadas en 2.- son iguales, la ed es exacta. Vamos a integrar la ed con respecto a la variable t:  

$\mu=\int\ (4y~+~2t~-~5)dt~=~4yt~+~t^{2}~-~5t~+~\psi_{(y)}$

4.- La solución general obtenida en 3.- se deriva con respecto a    y:  

∂µ/∂y  =  4t  +  dψ/dy  =  N  

5.- La derivada obtenida en 4.- se compara con la expresión    N    y se obtiene la solución definitiva de la ed:  

4t  +  dψ/dy  =  6y  +  4t  -  1               ⇒    

dψ/dy  =  6y  -  1             ⇒             dψ  =  (6y  -  1)dy           ⇒

$\int\ d\psi=\int\ (6y~-~1)dy\quad\Rightarrow\quad \psi~=~3y^{2}~-~y~+~C\quad\Rightarrow$

6.- Se sustituye en la solución general obtenida en 3.-

$\bold{4yt~+~t^{2}~-~5t~+~3y^{2}~-~y~-~8~=~C}$

7.- Resolvemos el problema de valores iniciales:

Si    t  =  -1        y        y  =  2

$4(2)(-1)~+~(-1)^{2}~-~5(-1)~+~3(2)^{2}~-~(2)~=~C\quad\Rightarrow\quad\bold{C~=~8}$

Entonces la solución particular al problema de valores iniciales es:

$\bold{4yt~+~t^{2}~-~5t~+~3y^{2}~-~y~-~8~=~0}$