Question

El conjunto solución de la inecuación 2/(3-x) < 1/(2x-1) es
A. ( - ∞,1/2 ) U ( 1,3 )
B. (-∞, 5/3)
C. (5/3, ∞)
D. ( 1/2 ,1) U ( 3, ∞ )

Answer 1

La respuesta correcta es la opción D. ( 1/2 ,1) ∪ ( 3, ∞ )

Determinamos el rango definido de la inecuación, sabiendo que los denominadores deben ser diferentes de cero.

3 - x ≠ 0    y    2x - 1 ≠ 0

-x ≠ -3        ;   2x ≠ 1

x ≠ 3          ;   x ≠ 1/2

Movemos la expresión a la izquierda y cambiamos su signo (desigualamos a 0).

2/(3-x) -1/(2x-1) < 0

Desarrollamos la fracción para obtener el mínimo común denominador. (Multiplicamos arriba y abajo en una expresión por el denominador de la otra).

(2(2x-1))/((3-x)(2x-1)) - (1(3-x))/((2x-1)(3-x)) < 0

(2(2x-1))/((3-x)(2x-1)) - (3-x)/((3-x)(2x-1)) < 0

Escribimos todos los numeradores encima del denominador común

((2(2x-1)-(3-x)) / ((3-x)(2x-1)) < 0

 

Desarrollamos  

((4x-2-(3-x)) / ((3-x)(2x-1)) < 0

((4x-2-3+x)) / ((3-x)(2x-1)) < 0

((5x-2-3)) / ((3-x)(2x-1)) < 0

((5x-5)) / ((3-x)(2x-1)) < 0

Hay dos modos en que el cociente a/b podría ser <0: si (a<0 ; b>0) o si (a>0 ; b<0)

(5x-5<0

(3-x)(2x-1)>0)

o

(5x-5>0

(3-x)(2x-1)<0)

Primero vamos a resolver  (5x-5<0 ; (3-x)(2x-1)>0)

5x-5<0

5x<5

x<1

y

(3-x)(2x-1)>0

Existen dos maneras en las que ab>0, (a>0, b>0) o (a<0, b<0)

(3-x>0, 2x-1>0) o (3-x<0, 2x-1<0)

(-x>-3, 2x>1) o (-x<-3, 2x<1)

(x<3, x>1/2) o (x>3, x>1/2)

x ∈ (1/2,3) o x ∈ ∅

x ∈ (1/2,3)

Ahora vamos a resolver (5x-5>0 ; (3-x)(2x-1)<0)

5x-5>0

5x>5

x>1

y

(3-x)(2x-1)<0

Existen dos maneras en las que ab<0, (a<0, b>0) o (a>0, b<0)

(3-x<0, 2x-1>0) o (3-x>0, 2x-1<0)

(-x<-3, 2x>1) o (-x>-3, 2x<1)

(x>3, x>1/2) o (x<3, x<1/2)

x ∈ (3,∞)   o  x ∈ (-∞,1/2)

x ∈ (-∞,1/2) ∪ (3,∞)

Hallamos las intersecciones

(x<1 , x∈(1/2 , 3)) ; (x>1 , x∈(-∞,1/2) ∪ (3,∞))

x∈(1/2 , 1)         ; x∈(3,∞)

Encontramos la unión

x∈(1/2 , 1) ∪ (3,∞), x≠3 , x≠1/2

Hallamos la intersección de la solución y el rango definido

x∈(1/2 , 1) ∪ (3,∞)