Question

Hallar la ecuacion del lugar geometrico de los puntos que se mueven de tal manera que su distancia a la recta x+3=0 es siempre 2 unidades mayor que su distancia al punto (1,1)

Answer 1

El lugar geométrico de estos puntos es la parábola $4x-(y-1)^2=0$

Explicación paso a paso:

La recta x+3=0 es equivalente a la recta x=-3, si la distancia a esta recta tiene que ser siempre 2 unidades mayores a la distancia al punto (1,1) tenemos dos vectores:

$v=(x-(-3),0)\\\\u=(x-1,y-1)\\\\||v||=||u||+2$

Desglosamos los módulos de ambos vectores y queda:

$x+3=\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}+2\\\\x+1=\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\\\\(x+1)^2=(x-1)^2+(y-1)^2\\\\x^2+2x+1=x^2-2x+1+y^2-2y+1\\\\2x=-2x+y^2-2y+1\\\\4x-y^2+2y-1=0$

Reacomodando los términos queda:

$4x-(y-1)^2=0$

Lo cual es la ecuación de una parábola con vértice en (0,1) y eje en y=1.

En la imagen adjunta se grafica la parábola, el punto (1,1) y la recta x=-3