Respuestas
No existe tal M
Para poder ver esto, la idea sería buscar el máximo de la función
f(x) = 2x² + 12x - 19, pero vamos a ver que tal máximo no existe por el criterio de la segunda derivada
Primero, debemos determinar el punto crítico de la función, esto se hace hallando las raíces de la derivada de f, es decir, los puntos críticos son todos los x, tales que
f'(x) = 0
En nuestro caso
f'(x) = 4x +12 = 4(x + 3)
Y por lo tanto,
4(x+3) = 0
x = -3
La imagen sobre este punto crítico es o bien un máximo o un mínimo, esto lo llegamos a saber con el criterio de la segunda derivada que dice
Sea x un punto crítico, entonces si f''(x) > 0, en x hay un mínimo y si f''(x) < 0, en x hay un máximo
Entonces,
f''(x) = (2x +12)' = 2
Y f''(-3) = 2 > 0, por lo que en -3 hay un mínimo y por consecuencia la función f(x) = 2x² + 12x - 19 no tiene un máximo y por consecuencia no existe un número M tal que M ≥ 2x² + 12x - 19