Question

Urgente por favor
Dadas las siguientes progresiones (a_n ), calcular el enésimo término y calcular la suma de los 10 primeros términos en cada progresión.

Answer 1

Progresiones aritméticas y geométricas.

El primer paso para resolver una progresión es observar de qué tipo de progresión se trata ya que puede ser ARITMÉTICA o GEOMÉTRICA.

Para el caso que nos ocupa, la primera progresión es aritmética porque si tomamos el segundo término y le restamos el primero, la diferencia es la misma que si tomamos el tercer término y le restamos el segundo, o sea, una diferencia entre términos consecutivos de 1/4.

Cuando entre dos términos consecutivos existe una relación de suma  (o resta si los términos van disminuyendo de valor)  podemos asegurar que estamos ante una PROGRESIÓN ARITMÉTICA (PA).

Fíjate que si el primer término de esa PA es 1/2 y le sumamos 1/4 el resultado es 3/4 que corresponde al segundo término.

Del mismo modo, si sumamos 1/4 a 3/4 ya tenemos el tercer término ya que sería:  1/4 + 3/4 = 4/4 = 1 ... y así sucesivamente.

Identificaremos ahora los datos conocidos que son:

• Primer término de la PA ... a₁ = 1/2
• Diferencia entre términos consecutivos ... d = 1/4
• Número de términos de la PA ... "n". Lo desconocemos porque la primera pregunta nos pide el enésimo término de esa PA y eso es como pedir la fórmula general que identifica esa progresión concreta.

Para ello usamos la fórmula general de las progresiones aritméticas que dice:   $a_n=a_1+(n-1)*d$

Y ahora sustituyo los términos conocidos que son el primer término y la diferencia.

$a_n=\dfrac{1}{2}+(n-1)*\dfrac{1}{4} \\ \\ \\ a_n=\dfrac{1}{2}+\dfrac{n}{4} -\dfrac{1}{4} \\ \\ \\ a_n=\dfrac{1}{4} +\dfrac{n}{4} \\ \\ \\ a_n=\dfrac{n+1}{4}$

Y ahí queda la respuesta a la primera pregunta de la primera progresión. Ese es el término general que nos facilita saber el valor de cualquier término de la progresión simplemente sabiendo el lugar que ocupe en la misma.

Y esa expresión nos vale ahora para conocer el valor del décimo término (a₁₀)  de esta PA ya que lo necesitaremos para después aplicar otra fórmula que nos diga la suma de los diez primeros términos.

Para ello solo hay que sustituir "n" por el "10" y operar:

$a_{10}=\dfrac{10+1}{4}=\dfrac{11}{4}$

Recurro ahora a la fórmula de suma de términos de una PA:

$S_n=\dfrac{(a_1+a_n)*n}{2} \\ \\ \\ S_{10} =\dfrac{(1/2\ +\ 11/4)*10}{2} =\dfrac{(13/4)*10}{2} =\dfrac{65}{4}$

La suma de los diez primeros términos de esa PA es = 65/4

Pasamos ahora a la segunda progresión la cual ya no es aritmética porque no sigue el patrón de la anterior, es decir, la diferencia entre dos términos consecutivos y otros dos, no es la misma.

Por tanto hay que mirar si la progresión es geométrica y para ello, en lugar de restar el segundo del primero, hay que dividir y ver si el cociente es igual en cualquier pareja de términos consecutivos.

1/8 ÷ 1/4 = 1/2

1/16 ÷ 1/8 = 1/2 ... y así sucesivamente vemos que se cumple la misma norma por tanto aquí podemos afirmar que estamos ante una progresión geométrica (PG) y diremos que la razón de la progresión es 1/2.

Igual que en la otra, enumeremos los datos que conocemos:

• Primer término de la PG ... a₁ = 1/4
• Razón de la PG ... r = 1/2
• Número de términos de la PG. Igual que en la otra, es desconocido.

Ahora hay que recurrir a la fórmula general de este tipo de progresiones que dice:  $a_n=a_1*r^{n-1}$

Sustituyo los datos conocidos para llegar al término general de esta PG:

$a_n=\dfrac{1}{4} *(\dfrac{1}{2}) ^{n-1} \\ \\ \\ a_n=\dfrac{1}{4} *\dfrac{(1/2)^n}{1/2} \\ \\ \\ a_n=\dfrac{1/2^n}{2} \\ \\ \\ a_n=\dfrac{1}{2*2^n} \\ \\ \\ a_n=\dfrac{1}{2^{n+1}}$

Y ahí tenemos el término general para esta PG en concreto y que responde a la primera pregunta de la segunda progresión.

Ayudado de esa expresión, calculo su décimo término donde obviamente podemos dar el valor de 10 a "n".

$a_{10} =\dfrac{1}{2^{10+1}} =\dfrac{1}{2^{11}} =\dfrac{1}{2048}$

Y ahora ya vamos a calcular la suma de los diez primeros términos ayudados por su fórmula que dice:

$S_n=\dfrac{a_n*r\ -a_1}{r-1} \\ \\ \\ S_{10} =\dfrac{(1/2048)*(1/2)\ -1/4}{(1/2)-1} =\dfrac{(1/4096)-(1/4)}{-1/2} =\dfrac{-4092/16384}{-1/2} =\dfrac{8184}{16384} \\ \\ \\ =\dfrac{1023}{2048}$

Y esta fracción es la suma de los diez primeros términos de la PG.

Saludos.