Question

En una encuesta realizada a 250 personas, sobre sus preferencias de tres productos A, B y C,
se obtuvieron los siguientes resultados: 82 personas consumen el producto A, 54 el producto
B, 50 consumen únicamente el producto A, 30 sólo el producto B, el número de personas que
consumen sólo B y C es la mitad del número de personas consumen sólo A y C, el número
de personas que consumen sólo A y B es el triple del número de las que consumen los tres
productos y hay tantas personas que no consumen los productos mencionados como las que
consumen sólo C. Determinar:
(a) El número de personas que consumen sólo dos de los productos.
(b) El número de personas que no consumen ninguno de los tres productos.

Answer 1

Pariendo de los dato se obtiene:

a) El número de personas que consumen sólo dos de los productos.

36 personas

b) El número de personas que no consumen ninguno de los tres productos.

65 personas

Explicación paso a paso:

Datos;

• una encuesta: 250 personas,
• preferencias de tres productos A, B y C,
• 82 personas consumen el producto A,
• 54 el producto  B,
• 50 consumen únicamente el producto A,
• 30 sólo el producto B,
• el número de personas que  consumen sólo B y C es la mitad del número de personas consumen sólo A y C,
• el número  de personas que consumen sólo A y B es el triple del número de las que consumen los tres  productos
• hay tantas personas que no consumen los productos mencionados como las que  consumen sólo C.

Aplicar teoría de conjuntos;

U = 250

A ∪ (A∩B) ∪ (A∩C) ∪ (A∩B∩C) =  82

A = 50

B ∪ (A∩B) ∪ (B∩C) ∪ (A∩B∩C) = 54

B = 30

B∩C = (A∩C) / 2

A∩B = 3 (A∩B∩C)

C = A∅B∅C

Sustituir;

A ∪ 3 (A∩B∩C) ∪ (A∩C) ∪ (A∩B∩C) =  82

A  + 4(A∩B∩C) + (A∩C) = 82

50  + 4(A∩B∩C) + (A∩C) = 82

(1) 4(A∩B∩C) + (A∩C) = 32

B ∪ 3 (A∩B∩C)  ∪ (B∩C) ∪ (A∩B∩C) = 54

30 +  (A∩C)/2+  4(A∩B∩C) = 54

(2) (A∩C)/2+  4(A∩B∩C) = 24

sumar 1 - 2;

4(A∩B∩C)-4(A∩B∩C) + (A∩C)- (A∩C)/2 = 32-24

(A∩C)/2 = 8

(A∩C) = 8(2)

(A∩C) = 16

sustituir;

4(A∩B∩C) + 16 = 32

(A∩B∩C)  = (32-16)/4

(A∩B∩C) = 4

sustituir;

B∩C = 16/2

B∩C  = 8

A∩B = 3(4)

A∩B = 12

Personas que solo consumen dos productos;

A∩C + B∩C + A∩B = 16 + 8 + 12

A∩C + B∩C + A∩B = 36

U = 250 = A ∪ B ∪ C ∪ (A∩B) ∪ (A∩C) ∪ (B∩C) ∪ (A∩B∩C) ∪ A∅B∅C

Despejar C;

2C = 250 - 50-30-12-8-16-4

C = 130/2

C = A∅B∅C  = 65 personas que no consumen ninguno de los tres.