Question

Al cubo “ABCDEFG” se le ha hecho un corte en su esquina H tal como se muestra en la figura, obteniendo una figura cortada “HIJK”. Determina: a) El volumen que se le ha quitado al cubo. b) determina el volumen que le queda al cubo después del corte. Dimensiones: AD = 10 cm. y HK = HJ = IJ= 5 cm.

Answer 1

Aviso antes que nada, que he notado que el ejercicio dice que IJ=5cm. Considero que este pudo haber sido un error de tipeo, y que en realidad querían decir que IH=5cm. De esta forma, la figura tiene más sentido.

"AD=10cm" implica que todas las aristas del cubo equivalen a 10cm cada una.

Luego, el cuerpo formado por los puntos H, I, J y K corresponde a un tetraedro.

a) Como dijimos que hablamos de un tetraedro, entonces el volumen del mismo estará dado por:

$V=\frac{area\times altura}{3}$

Donde el área corresponde a la cara interna del tetraedro (en este caso, el triángulo formada por los puntos KJI, la cual se puede ver después de realizar el corte)

Vemos que los triángulos KHJ, JHI y KHI corresponden a triángulos rectángulos (como se observa en el punto H, todos los ángulos que salen de ahí son iguales a 90º).

Además, sabemos que el triángulo KJI (al que necesitamos sacarle el área) está compuesto por los lados KJ, JI y IK, los cuales corresponden a las hipotenusas de los triángulos rectángulos.

Pero como HK=HJ=HI=5cm, entonces todas las hipotenusas serán iguales. Por consiguiente, el triángulo KJI es un triángulo equilátero.

El área de un triángulo equilátero en base a su lado es:

$A=\frac{a^2\sqrt{3} }{4}$

Donde "a" corresponde a la hipotenusa, cuyo valor será (omitiré en todos los casos las unidades de medición):

$a=\sqrt{5^2+5^2}\\ a=5\sqrt{2}$

Luego:

$A=\frac{(5\sqrt{2}) ^2\sqrt{3} }{4}=\frac{25*2*\sqrt{3} }{4} =\frac{25\sqrt{3} }{2}$

Hemos calculado el valor del área, pero ahora necesitamos la altura del tetraedro.

Adjunto dos imágenes del tetraedro para entender esta parte. Sea "E" el punto tal que el lado HE conforme la altura del tetraedro. En un triángulo equilátero, el punto E coincide con el baricentro. Por las propiedades del baricentro, se tiene que el lado IE es igual al doble del lado EA (lo que implica que IE es 2/3 el valor de IA). Por lo tanto, podemos sacar la altura de IE, sabiendo que el triángulo IAJ es un triángulo rectángulo. Luego:

$|IJ|^2=|AJ|^2+|IA|^2\\\\|IA|=\sqrt{(5\sqrt{2})^2-(\frac{5\sqrt{2} }{2})^2 }\\\\|IA|=\frac{5\sqrt{6} }{2 }$

$|IE|=\frac{2}{3}|IA|\\ \\|IE|=\frac{5\sqrt{6} }{3}$

Tenemos el valor de IE, pero todavía no tenemos la altura.

Vemos en la segunda imagen que tenemos el triángulo rectángulo HEI, donde tenemos a EI, HI y EH, el cual corresponde con la altura. Utilizando pitágoras:

$|IH|^2=|HE|^2+|EI|^2\\\\|HE|=\sqrt{5^2-(\frac{5\sqrt6}{3})^2 } \\\\|HE|=\frac{5\sqrt{3} }{3}$

Tenemos los valores del área y la altura, procedemos a calcular el volumen del tetraedro:

$V=(\frac{25\sqrt{3} }{2} *\frac{5\sqrt{3} }{3} )/3\\\\V=125/6=20,83$

Siendo entonces el valor del volumen del tetraedro igual a 20,83cm³

b) El volumen del cubo estará dado por: (10cm)³=1000cm³

Luego, el volumen restante será:

V=1000cm³-20,83cm³=979,17cm³

Saludos.