Question

Hallar el lugar geométrico de los puntos cuyo producto de distancias a las rectas 3x-4y+1=0 , 3x+4y-7=0, sea igual a 144/25. ¿Qué curva representa dicho lugar?

Answer 1

Sea P(u, v) el conjunto de puntos del lugar geométrico. Se cambian x e y por u y v para no confundir coordenadas.

Distancia a una de las rectas: d = (3 u - 4 y + 1) /√(3² + 4²)

Distancia a la otra: d' ? (3 u + 4 y - 7) /√(3² + 4)²

Las multiplicamos:

d d' = 144/25 = (3 u - 4 v + 1) / 5 . (3 u + 4 v - 7) / 5

Queda:

(3 u - 4 v + 1) . (3 u + 4 v - 7) = 144

Omito las operaciones básicas. Quitamos los paréntesis:

9 u² - 16 v² - 18 u + 32 v - 7 = 144

Volvemos a x e y

9 x² - 16 y² - 18 x + 32 y - 151 = 0

Es una hipérbola. Buscamos la forma ordinaria completando cuadrados.

9 (x² - 2 x + 1) - 16 (y² - 2 y + 1) = 151 + 9 - 16 = 144

9 (x - 1)² - 16 (y - 1)² = 144; dividimos por 144

(x - 1)²/16 - (y - 1)²/9 = 1

Hipérbola de centro en (1, 1)

Semiejes: a = 4, b = 3

Adjunto gráfico.

Mateo.