Un fabricante produce cajas con un volumen de 500 cm con piezas cuadradas de hojalata de 20 cm de lado, cortando cuadrados en cada esquina y doblando los bordes. Encuentra la longitud de cada lado de los cuadrados que recorta y hay dos respuestas.
Respuestas
Sea x el recorte que se hace en cada esquina
Se forma una caja de volumen x (20 - 2 x)² = 500
Quitamos paréntesis
x (400 - 80 x + 4 x²) = 500; o bien_²
4 x³ - 80 x² + 400 x - 500 = 0; o también:
x³- 20 x² + 100 x - 125 = 0
Es una ecuación de grado 3. Puede tener 3 raíces entre reales y complejas.
Si hay alguna solución entera, está entre los divisores de 125, positivos o negativos. Como x no es negativa, quedan los positivos.
Sus divisores son: 1, 5, 25 y 125
Se observa que 1 no satisface la ecuación
x = 5: 5³- 20 . 5² + 100 . 5 - 125 = 0
x = 5 es una raíz; dividimos la ecuación por x - 5
Aplicando regla de Ruffini se obtiene:
x² - 15 x + 25 = 0; ecuación de segundo grado en x
Resulta: x ≅ 1,91; x ≅ 13,1
Debemos descartar 13,1 porque es mayor que la mitad del lado de la base de la caja.
Las medidas de una de las cajas es: 5 de altura y 10 cada lado de la base.
La otra: 1,91 de altura y 16,18 cada lado de la base.
Verificamos:
V = 5 . 10² = 500
V = 1,91 . 16,18² = 500
Mateo.