Question

De un círculo de radio de 12 pulgadas se corta una sección circular cuyo ángulo central es teta, y los lados de esta sección se unen para formar un cono circular recto. Encuentre la magnitud que deberá tener teta para que el volumen del cono sea máximo.

Answer 1

El valor del ángulo central que maximiza el volumen del cono que se va a confeccionar es de 322°.

Explicación paso a paso:

El volumen del cono que se forme con el sector circular recortado será:

$V=\frac{\pi.r^2.h}{3}$

Donde el perímetro de la base es la longitud del arco circular resultante, y el radio de la base es:

$r=\frac{R\theta}{2\pi}$

Y la altura sigue el teorema de Pitágoras, tomando la generatriz del cono (igual al radio del círculo) como hipotenusa y el radio de la base como cateto.

$h=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{R^2-(\frac{R\theta}{2\pi})^2}\\\\h=\sqrt{R^2-\frac{R^2\theta^2}{4\pi^2}}=\frac{R}{2\pi}\sqrt{4\pi^2-\theta^2}$

Aquí el volumen del cono queda con la siguiente expresión:

$V=\frac{\pi.(\frac{R\theta}{2\pi})^2.\frac{R}{2\pi}\sqrt{4\pi^2-\theta^2}}{3}\\\\V=\frac{R^3}{24\pi^2}\theta^2\sqrt{4\pi^2-\theta^2}$

El volumen máximo lo obtenemos derivando esta expresión e igualándola a cero:

$\frac{dV}{d\theta}=\frac{R^3}{24\pi^2}(2\theta\sqrt{4\pi^2-\theta^2}+\theta^2\frac{(-2\theta)}{2\sqrt{4\pi^2-\theta^2}})\\\\2\theta\sqrt{4\pi^2-\theta^2}-\theta^2\frac{\theta}{\sqrt{4\pi^2-\theta^2}}=0\\\\2\sqrt{4\pi^2-\theta^2}-\frac{\theta^2}{2\sqrt{4\pi^2-\theta^2}}=0\\\\\theta^2=4(4\pi^2-\theta^2)\\\\5\theta^2-16\pi^2=0$

De esta expresión despejamos el ángulo:

$\theta=\sqrt{\frac{16\pi^2}{5}}\\\\\theta=5,62\\\\\theta=322\°$