Question

Descripción del ejercicio 4

Dada la siguiente matriz, calcular su inversa a través de los métodos de Gauss Jordán y Determinantes A^(-1)=(1/DetA∙AdjA).

Answer 1

La Matriz Inversa de una matriz A es aquella que cumple que el producto de A por su inversa es igual a la Matriz Identidad.

Explicación paso a paso:

A. Método de Gauss Jordan.

1.- Se construye una matriz con M y se amplía con la matriz identidad:

$\bold{\left[\begin{array}{cccccc}-5&-4&3&1&0&0\\7&0&-1&0&1&0\\-2&3&6&0&0&1\end{array}\right]}$

2.- Se realizan operaciones hasta lograr la transferencia de la matriz identidad a la posición ocupada por la matriz M originalmente.

Multiplicamos la primera fila por -1/5 para obtener uno en la primera posición de la primera fila; es decir, la esquina superior izquierda.  

$\left[\begin{array}{cccccc}1&\frac{4}{5}&-\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}&0&0\\7&0&-1&0&1&0\\-2&3&6&0&0&1\end{array}\right]$

Con la primera fila pivoteamos para anular la parte inferior de la primera columna, multiplicando la primera fila por -7 y sumando a la segunda fila, multiplicando la primera fila por 2 y sumando a la tercera fila.  

$\left[\begin{array}{cccccc}1&\frac{4}{5}&-\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}&0&0\\0&-\frac{28}{5}&\frac{16}{5}&\frac{7}{5}&1&0\\0&\frac{23}{5}&\frac{24}{5}&-\frac{2}{5}&0&1\end{array}\right]$

Multiplicamos la segunda fila por -5/28 para obtener uno en la segunda posición de la segunda fila.  

$\left[\begin{array}{cccccc}1&\frac{4}{5}&-\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}&0&0\\0&1&-\frac{4}{7}&-\frac{1}{4}&-\frac{5}{28}&0\\0&\frac{23}{5}&\frac{24}{5}&-\frac{2}{5}&0&1\end{array}\right]$

Con la segunda fila pivoteamos para anular la el resto de la columna, multiplicando la segunda fila por -4/5 y sumando a la primera fila, multiplicando la segunda fila por -23/5 y sumando a la tercera fila.  

$\left[\begin{array}{cccccc}1&0&-\frac{1}{7}&0&\frac{1}{7}&0\\0&1&-\frac{4}{7}&-\frac{1}{4}&-\frac{5}{28}&0\\0&0&\frac{52}{7}&\frac{3}{4}&\frac{23}{28}&1\end{array}\right]$

Multiplicamos la tercera fila por 7/52 para obtener uno en la tercera posición de la tercera fila.  

$\left[\begin{array}{cccccc}1&0&-\frac{1}{7}&0&\frac{1}{7}&0\\0&1&-\frac{4}{7}&-\frac{1}{4}&-\frac{5}{28}&0\\0&0&1&\frac{21}{208}&\frac{23}{208}&\frac{7}{52}\end{array}\right]$

Con la tercera fila pivoteamos para anular la parte superior de la columna, multiplicando la tercera fila por 1/7 y sumando a la primera fila, multiplicando la tercera fila por 4/7 y sumando a la segunda fila.  

$\left[\begin{array}{cccccc}1&0&0&\frac{3}{208}&\frac{33}{208}&\frac{1}{52}\\0&1&0&-\frac{40}{208}&-\frac{3}{26}&\frac{4}{52}\\0&0&1&\frac{21}{208}&\frac{23}{208}&\frac{7}{52}\end{array}\right]$

3.- A partir de esta matriz, se reduce la matriz identidad y lo que queda es la matriz inversa.  

$\bold{M^{-1}~=~\left[\begin{array}{ccc}\frac{3}{208}&\frac{33}{208}&\frac{1}{52}\\-\frac{40}{208}&-\frac{3}{26}&\frac{4}{52}\\ \frac{21}{208}&\frac{23}{208}&\frac{7}{52}\end{array}\right]}$

B. Método de Determinantes $\bold{M^{-1}~=~\frac{1}{DetM}\cdot(AdjM)}$

1. Vamos a resolver el determinante.

$DetM~=~\left|\begin{array}{ccc}-5&-4&3\\7&0&-1\\-2&3&6\end{array}\right|\qquad\Rightarrow$

$DetM~=~[(-5)(0)(6)+(-4)(-1)(-2)+(7)(3)(3)]-[(3)(0)(-2)+(3)(-1)(-5)+(-4)(7)(6)]~=~208$

2. $\bold{M^{T}}$

La matriz traspuesta es aquella matriz que se obtiene por la transposición de las filas de M en columnas.

$M~=~\left[\begin{array}{ccc}-5&-4&3\\7&0&-1\\-2&3&6\end{array}\right]\qquad\Rightarrow$

$\bold{M^{T}~=~\left[\begin{array}{ccc}-5&7&-2\\-4&0&3\\3&-1&6\end{array}\right]}$

3. $\bold{AdjM}$

La matriz adjunta se calcula hallando los cofactores de la matriz MT; es decir, la matriz formada por los determinantes de cofactores de la matriz traspuesta.

$Cofactor11~=~C_{11}~=~\left|\begin{array}{cc}0&3\\-1&6\end{array}}\right|~=~3$

Se calculan todos los elementos de la adjunta y se obtiene

$\bold{AdjM~=~\left[\begin{array}{ccc}3&33&4\\-40&-24&16\\21&23&28\end{array}\right]}$

4. $\bold{M^{-1}~=~\frac{1}{DetM}\cdot(AdjM)}$

El producto de una matriz por un escalar se efectúa de manera exhaustiva por toda la matriz; es decir, el escalar se multiplica por todos y cada uno de los elementos de la matriz:

$M^{-1}~=~\frac{1}{DetM}\cdot(AdjM)~=~\frac{1}{208}\cdot\left[\begin{array}{ccc}3&33&4\\-40&-24&16\\21&23&28\end{array}\right]\qquad\Rightarrow$

$\bold{M^{-1}~=~\left[\begin{array}{ccc}\frac{3}{208}&\frac{33}{208}&\frac{1}{52}\\-\frac{40}{208}&-\frac{3}{26}&\frac{4}{52}\\ \frac{21}{208}&\frac{23}{208}&\frac{7}{52}\end{array}\right]}$