Question

La nave Mars Polar Lander se lanzó al espacio el 3 de enero de 1999. El 3 de diciembre de 1999, el día en que la nave se posó en la superficie de Marte, las posiciones de la Tierra y Marte estaban dadas por estas coordenadas:

Tierra: (0.3182,0.9329,0) UA - Marte: (1.3087,-0.4423,-0.0414) UA.
En estas coordenadas, el Sol est´a en el origen y el plano de la ´orbita de la Tierra es el plano
xy. La Tierra pasa por el eje +x una vez al a˜no, en el equinoccio de septiembre. Una UA (unidad
astron´omica) es igual a 1.496 108 km, la distancia media de la Tierra al Sol.
(a) Dibuje un diagrama que muestre las posiciones de la Tierra, el Sol y Marte el 3 de diciembre de
1999.
(b) Calcule las siguientes distancias en UA el 3 de diciembre de 1999: Sol - Tierra, Sol - Marte y
Tierra - Marte.
(c) Visto desde la Tierra ¿Qu´e ´angulo habr´ıa entre la direcci´on al Sol y la direcci´on a Marte?
(d) Indique si Marte se ve´ıa desde donde usted estaba el 3 de diciembre de 1999 a media noche.

Answer 1

El 3 de diciembre de 1999, la Tierra estaba a 0,986UA del Sol, Marte a 1,38 UA del Sol y a ambos planetas los separaba una distancia de 1,7UA. El ángulo entre la dirección de Marte y la dirección del Sol en relación a la Tierra era de 125° y Marte fue visible ese día a medianoche con mejor visibilidad desde el hemisferio Sur.

Explicación:

Si consideramos un sistema de referencias con el Sol en el Origen y la Tierra y Marte en las posiciones indicadas tenemos:

a) El diagrama está en la imagen adjunta.

b) Para hallar la distancia entre la Tierra y Marte hay que primero hallar la distancia en cada una de las dimensiones:

$d_{x}=x_t-x_m=0,3182UA-1,3087UA=-0,9905UA\\d_{y}=y_t-y_m=0,9329UA-(-0,4423)=1,3752UA\\d_{z}=z_t-z_m=0-(-0,0414)UA=0,0414UA$

Luego aplicar Pitágoras para hallar la distancia:

$d=\sqrt{d_x^2+d_y^2+d_z^2}=\sqrt{(-0,9905)^2+1,3752^2+0,0414^2}\\\\d=1,7UA.$

Lo mismo se aplica para hallar la distancia entre la Tierra y el Sol asumiendo que el Sol está en (0,0,0):

$d_{ts}=\sqrt{0,3182^2+0,9329^2+0^2}\\d_{ts}=0,986UA$

Y la distancia entre el Sol y Marte:

$d_{ms}=\sqrt{1,3087^2+(-0,4423)^2+(-0,0414)^2}\\\\d_{ms}=1,38UA$

c) Podemos considerar que el segmento que une a la Tierra con Marte y el segmento que une a la Tierra con el Sol son dos vectores con estas coordenadas:

$V_{ts}=(0,3182;0,9329;0)\\V_{mt}=(0,9905;-1,3752;-0,0414)$

Los signos de las componentes se obtienen mirando el gráfico, el segundo vector apuntaría al sexto octante. Podemos hallar el ángulo recurriendo al producto escalar:

$V_{ts}.V_{tm}=0,3182(0,9905)+0,9329(-1,3752)+0.(-0,0414)=d_{ts}.d_tm.cos(\theta)\\\\cos(\theta)=\frac{0,3182(0,9905)+0,9329(-1,3752)+0.(-0,0414)}{d_{ts}.d_{tm}}\\\\cos(\theta)=\frac{0,3182(0,9905)+0,9329(-1,3752)+0.(-0,0414)}{0,986UA.1,7UA}\\\\\theta=125\°$

d) En el punto anterior vimos que el ángulo entre la dirección del Sol y la dirección de Marte es 125°, lo que da una distancia angular de 125° indicando que si el Sol estaba en Sagitario, Marte estaba en Leo. Además si el equinoccio de septiembre está indicado como el cruce de la órbita terrestre con el eje +x, el hemisferio norte apuntaría a la dirección z positiva, con lo cual Marte con estas coordenadas tendría mejor visibilidad desde el hemisferio Sur. Para que un astro sea visible a medianoche, la distancia angular del mismo al Sol tiene que ser mayor a 90° por lo que era visible a medianoche.