Question

Integrales inmediatas.

Desarrollar el ejercicio seleccionado (b) utilizando el algebra, la trigonometría y propiedades matemáticas para reducir las funciones a integrales inmediatas y compruebe su respuesta derivando el resultado.


∫▒(t^3-1 )/(2t-2) dt

por favor me pueden colaborar, Calculo Integral...

Answer 1

La primitiva de esta integral es $\frac{1}{6}t^3+\frac{1}{4}t^2+\frac{1}{2}t+C$

Explicación:

Para hallar esta integral se puede factorizar el numerador del integrando sabiendo que t=1 es una raíz. De aquí se aplica Ruffini:

$t^3-1=(t-1)P(t)\\\\~~~|1~0~0~-1\\1 |~~~1~~1~~1\\------\\~~~|1~1~~1~~0\\\\t^3-1=(t-1)(t^2+t+1)$

La integral queda ahora:

$\int\limits^{}_{} {\frac{t^3-1}{2t-2}} \, dx =\int\limits^{}_{} {\frac{(t-1)(t^2+t+1)}{2t-2}} \, dt$

Si en el denominador sacamos el 2 como factor común podemos simplificar la expresión:

$\int\limits^{}_{} {\frac{(t-1)(t^2+t+1)}{2t-2}} \, dt=\int\limits^{}_{} {\frac{(t-1)(t^2+t+1)}{2(t-1)}} \, dt\\\\=\int\limits^{}_{} {\frac{(t^2+t+1)}{2}} \, dt=\frac{1}{2}(\frac{t^3}{3}+\frac{t^2}{2}+t+C)\\\\F(x)=\frac{1}{6}t^3+\frac{1}{4}t^2+\frac{1}{2}t+C$

Si derivamos esta expresión deberíamos llegar a la función original:

$F'(x)=\frac{1}{2}t^2+\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(t^2+t+1)$

Ahora multiplicamos y dividimos por (t-1):

$F'(x)=\frac{1}{2}(t^2+t+1)\frac{t-1}{t-1}\\\\F'(x)=\frac{(t^2+t+1)(t-1)}{2t-2}=\frac{(t^3+t^2+t-t^2-t-1)}{2t-2}=\frac{t^3-1}{2t-2}$