Question

Dadas las siguientes matrices (imagen)

Realiza la siguiente operación: (B+C).2(A-C^T )

Answer 1

Las operaciones solicitadas tienen como colofón un producto de matrices que da como resultado una matriz de orden 3x3.

Explicación paso a paso:

Vamos a resolver las operaciones encerradas en los paréntesis y luego las operaciones externas a estos.

$\bold{B~+~C}$

La suma de matrices solo es posible si ambas son del mismo orden. La matriz suma es del mismo orden que las matrices sumandos y se obtiene sumando los elementos de las matrices sumandos en las mismas posiciones y colocando cada suma en la misma posición de la matriz suma.

$B~+~C~=~\left[\begin{array}{cccc}2&-1&1&3\\0&-2&0&-4\\-1&3&3&0\end{array}\right]~+~\left[\begin{array}{cccc}-2&0&1&-1\\1&-3&2&3\\-1&2&0&-2\end{array}\right]~=~\left[\begin{array}{cccc}0&-1&2&2\\1&-5&2&-1\\-2&5&3&-2\end{array}\right]$

$\bold{C^{T}}$

Sea C una matriz de orden 3x4, la matriz traspuesta es aquella matriz que se obtiene por la transposición de las filas de C en columnas; es decir, C traspuesta es una matriz de orden 4x3.

$C=\left[\begin{array}{cccc}-2&0&1&-1\\1&-3&2&3\\-1&2&0&-2\end{array}\right]$

$\bold{C^{T}~=~\left[\begin{array}{ccc}-2&1&-1\\0&-3&2\\1&2&0\\-1&3&-2\end{array}}\right]$

$\bold{A~-~C^{T}}$

La sustracción de matrices se efectúa de manera similar a la suma:

$A~-~C^{T}~=~\left[\begin{array}{ccc}3&1&2\\0&-1&2\\-1&3&1\\-2&1&2\end{array}}\right]~-~\left[\begin{array}{ccc}-2&1&-1\\0&-3&2\\1&2&0\\-1&3&-2\end{array}}\right]~=~\left[\begin{array}{ccc}5&0&3\\0&2&0\\-2&1&1\\-1&-2&4\end{array}}\right]$

$\bold{2\cdot(A~-~C^{T})}$

El producto de una matriz por un escalar se efectúa de manera exhaustiva por toda la matriz; es decir, el escalar se multiplica por todos y cada uno de los elementos de la matriz:

$2\cdot(A~-~C^{T})~=~2\cdot\left[\begin{array}{ccc}5&0&3\\0&2&0\\-2&1&1\\-1&-2&4\end{array}}\right]~=~\left[\begin{array}{ccc}10&0&6\\0&4&0\\-4&2&2\\-2&-4&8\end{array}}\right]$

$\bold{(B~+~C)\cdot 2\cdot(A~-~C^{T})}$

El producto de matrices se realiza como un producto escalar de vectores; es decir, las filas (vectores) de la matriz de la izquierda por las columnas (vectores) de la matriz de la derecha. Se multiplican los elementos ubicados en las mismas posiciones de los dos vectores y todos los productos se suman, obteniendo un solo número que se ubica en la matriz producto en la posición que representa los números de fila y columnas consideradas en las matrices originales.

$(B~+~C)\cdot 2\cdot(A~-~C^{T})~=~\left[\begin{array}{cccc}0&-1&2&2\\1&-5&2&-1\\-2&5&3&-2\end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{ccc}10&0&6\\0&4&0\\-4&2&2\\-2&-4&8\end{array}\right]\qquad\Rightarrow$

$\bold{(B~+~C)\cdot 2\cdot(A~-~C^{T})~=~\left[\begin{array}{ccc}-12&-8&20\\4&-12&32\\-28&34&-22\end{array}\right]}$