Question

Los radios de dos circunferencias tangentes exteriores, de centros A y B son 5 y 3 respectivamente. Una recta tangente exterior a ambas corta a la recta AB en el punto C. ¿Cuánto mide el segmento BC?

Answer 1

Supongamos que la recta tangente corta al círculo A y B en los puntos M y N respectivamente.

Luego, llamemos P al punto de intersección entre el segmento MA y la recta paralela a AB que pasa por N.

Denotamos entonces que se formó un triángulo rectángulo MPN, cuyo cateto MP va a estar dado por la resta de los radios (5-3=2) y cuyo cateto PN va a estar dado por la suma de los radios (5+3=8).

Nuestra intención con esto es encontrar el valor del ángulo ∠PMN (al que llamaremos alfa). Por lo tanto, utilizando relaciones trigonométricas:

$tan(\alpha)=\frac{PN}{MP}\\ \\\alpha =tan^{-1}(\frac{8}{2})\\ \\\alpha = 76$

Teniendo el valor del ángulo alfa, podemos proceder a calcular el valor del segmento AC, sabiendo que el triángulo MAC es un triángulo rectángulo, el cual uno de los ángulos es alfa, y que uno de los catetos va a estar dado por MA (es decir, el radio de 5).

$tan(\alpha)=\frac{AC}{MA}\\\\tan(76).5=AC\\\\AC=20$

Por último, el segmento AB va a estar dado por:

$BC=AC-AB=20-(5+3)\\BC=12$

Siendo entonces la longitud del segmento BC igual a 12.