Question

Considere el triángulo rotatorio limitado por la función y=-3x+3 y los dos ejes, alrededor del eje y. Calcule el volumen del sólido de revolución por el método se cilindros y su grafica.

Answer 1

El volumen que se genera al rotar el triángulo que se forma con las funciones es:

V = π u³

Explicación:

Datos;

• y = -3x+3 ⇒ x = 1-y/3
• y = 0
• x = 0

Aplicar método del cilindro;

El volumen del solido en revolución es igual a diferencial del volumen de un cilindro;

dv = π.r².h

Siendo;

r = 1-y/3

h = dy

sustituir;

dv =  π.(1-y/3)².dy

Aplicar integral;

∫dv = π∫(1-y/3)².dy

V = π∫(1-y/3)².dy

Limites de integración;

y = 0 ; y = 3

$V = \pi \int\limits^3_0 {(1-\frac{y}{3} )^{2} } \, dy$

Aplicar binomio cuadrado;

(1-y/3)² = 1 -2/3y +y²/9

sustituir;

$V = \pi \int\limits^3_0 {(1-\frac{2}{3}y+ \frac{y^{2}}{9} )} \, dy$

Aplicar propiedad de la suma;

$V =\pi \int\limits^3_0 {1\, dy-\pi \int\limits^3_0 {\frac{2}{3}y\, dy+ \pi \int\limits^3_0 {\frac{y^{2}}{9} } \, dy$

∫1 dy = y = 3

2/3∫y dy = y²/3 = 3

1/9∫y² dy = y³/27 = 1

V = 3 - 3 + 1

V = π u³

Answer 2

El volumen del cono es de 3π unds³

Para poder calcular el volumen de la superficie, debemos saber que el método delos cilindros (o discos) explica que el  volumen de la superficie encerrada por las funciones f(x) y g(x) es

$V = \int\limits_a^b {\pi (f^2(x) - g^2(x))} \, dx$

Pero, para nuestro caso g(x) = 0 es el eje x, entonces el volumen es

$V = \int\limits_a^b {\pi f^2(x)} \, dx$

Donde f(x) = 3( 1 - x ), a = 0 , b = 1

Entonces

$V(t) = \int\limits^t_0 {9\pi(1-x)^2} \, dx = -\frac{9\pi}{3}(1-x)^3 = -3\pi(1-x)^3$

lo que debemos hacer es restar cuando x = 1 y x = 0, es decir

V1 - V0 = -3π(1-1)³ + 3π(1-0) = 3π

Es decir, el volumen del cono es de 3π unds³