Question

. Encuentra el área de la región entre la parábola x= yˆ2 − 2 y la recta x=y en el intervalo [−2,2], de la siguiente manera

a) Grafica la recta y la parábola

b) Encuentra los puntos de intersección

c) Calcula el área como la suma de las dos regiones determinadas por b), que debes utilizar como límite de integración de las diferencias de las funciones adecuadas.

Answer 1

El área bajo las curvas x = y²-2, x = y es:

A = 16/3 unidades

Los puntos de intersección:

• y₁ = 2  ⇒ x = 2
• y₂= -1 ⇒ x = -1

La gráfica se puede ver en la imagen.

Explicación:

Datos;

x = y²-2 ⇒ y =√x+2

x = y

b) Puntos de intersección:

Igualar;

y²-2 = y

y²- y - 2 = 0

Aplicar la resolvente;

y₁,₂= -b±√[b²-4ac]/2a

sustituir;

y₁,₂= 1±√[1²-4(-2)]/2

y₁,₂= 1±√[9]/2

y₁,₂= 1±3/2

y₁ = 2  ⇒ x = 2

y₂= -1 ⇒ x = -1

c) área de la región encerrada por las curvas;

 $\int\limits^a_b {f(x)-g(x)} \, dx$

Siendo;

• a = -2
• b = 2

• f(x) = √x+2
• g(x) = x

Sustituir;

$\int\limits^2_{-2} {(\sqrt{x+2} - x)} \, dx$

 Aplicar propiedad de las suma;

 $\int\limits^2_{-2} {\sqrt{x+2}}\, dx - \int\limits^2_{-2}{x} \, dx$

$- \int\limits^2_{-2}{x} \, dx = 0$

Cambio de variable:

u = x+2, du = 1 sustituir;

$\int\limits^2_{-2} {\sqrt{x+2}}\, dx = \int\limits^2_{-2} {\sqrt{u} }\, du$

 $\int\limits^2_{-2} {u}\, du = \frac{2u^{3/2} }{3}/^{2}_{-2}$

 Devolver el cambio;

= 2/3(x+2)^{3/2}  

evaluar;

= 2/3(2+2)^{3/2} - 2/3(-2+2)^{3/2}  

= 16/3