Question

El coliseo romano es uno de los grandes monumentosbarquitectónicos alcanzados por los antiguos romanos. El anfiteatro es una elipse extensa con gradas para sentar a unos 50,000 espectadores alrededor de una arena elíptica central. Sus dimensiones, todavía impresionan hoy en día. Desde una vista superior se observa una elipse extensa, midiendo externamente 188 m el eje mayor, por 156 m el eje

menor.


a. Determina la ecuación de la elipse


b. Calcula la distancia entre los focos.
​

Answer 1

La forma canónica de la ecuación de una elipse es:

x²/a² + y²/b² = 1

a y b los los semiejes mayor y menor respectivamente.

La semi distancia focal es c = √(a² - b²)

a = 188/2 = 94; b = 156/2 = 78

c = √(94² - 78²) = √14920 ≅ 52

La ecuación es:

x²/94² + y²/78²  1

La distancia entre focos es 2 . 52 = 104 m

Se adjunta gráfico a escala donde se aprecian los focos.

Mateo

Answer 2

La ecuación de la elipse extensa que representa el el anfiteatro del coliseo romano es:

$\bold{\dfrac{(x~-~0)^{2}}{(94)^2}~+~\dfrac{(y~-~0)^{2}}{(78)^2}~=~1\qquad\Rightarrow\qquad6084x^2~+~8836y^2~-~53758224~=~0}$

Explicación paso a paso:

Ya que el problema no dice que posición tiene el eje mayor, vamos a suponer que está en posición horizontal, así que la ecuación canónica viene dada por:

$\bold{\dfrac{(x~-~h)^{2}}{a^{2}}~+~\dfrac{(y~-~k)^{2}}{b^{2}}~=~1}$

donde

• (h, k)  =  coordenadas del centro
• a  =  distancia del centro a los vértices sobre el eje mayor
• b  =  distancia del centro a los vértices sobre el eje menor

Además se sabe que   c  =  distancia del centro a los focos sobre el eje mayor y que en la elipse se cumple que:

Relación entre distancias:           a²  =  b²  +  c²

 

a. Determina la ecuación de la elipse.

En el caso del coliseo romano, el centro lo ubicamos convenientemente en el origen de coordenadas  (0, 0).  Las longitudes de los ejes mayor y menor nos permiten calcular  a  y  b.

2a  =  188        ⇒        a  =  94

2b  =  156        ⇒        b  =  78

La ecuación canónica es:

$\bold{\dfrac{(x~-~0)^{2}}{(94)^2}~+~\dfrac{(y~-~0)^{2}}{(78)^2}~=~1\qquad\Rightarrow\qquad6084x^2~+~8836y^2~-~53758224~=~0}$

b. Calcula la distancia entre los focos.

a²  =  b²  +  c²          ⇒        8836  =  6084  +  c²      ⇒        c  =  8√(43)

La distancia entre los focos es  2[8√(43)] = 16√(43) unidades de distancia

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