El coliseo romano es uno de los grandes monumentosbarquitectónicos alcanzados por los antiguos romanos. El anfiteatro es una elipse extensa con gradas para sentar a unos 50,000 espectadores alrededor de una arena elíptica central. Sus dimensiones, todavía impresionan hoy en día. Desde una vista superior se observa una elipse extensa, midiendo externamente 188 m el eje mayor, por 156 m el eje
menor.
a. Determina la ecuación de la elipse
b. Calcula la distancia entre los focos.
Respuestas
La forma canónica de la ecuación de una elipse es:
x²/a² + y²/b² = 1
a y b los los semiejes mayor y menor respectivamente.
La semi distancia focal es c = √(a² - b²)
a = 188/2 = 94; b = 156/2 = 78
c = √(94² - 78²) = √14920 ≅ 52
La ecuación es:
x²/94² + y²/78² 1
La distancia entre focos es 2 . 52 = 104 m
Se adjunta gráfico a escala donde se aprecian los focos.
Mateo
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La ecuación de la elipse extensa que representa el el anfiteatro del coliseo romano es:
Explicación paso a paso:
Ya que el problema no dice que posición tiene el eje mayor, vamos a suponer que está en posición horizontal, así que la ecuación canónica viene dada por:
donde
- (h, k) = coordenadas del centro
- a = distancia del centro a los vértices sobre el eje mayor
- b = distancia del centro a los vértices sobre el eje menor
Además se sabe que c = distancia del centro a los focos sobre el eje mayor y que en la elipse se cumple que:
Relación entre distancias: a² = b² + c²
a. Determina la ecuación de la elipse.
En el caso del coliseo romano, el centro lo ubicamos convenientemente en el origen de coordenadas (0, 0). Las longitudes de los ejes mayor y menor nos permiten calcular a y b.
2a = 188 ⇒ a = 94
2b = 156 ⇒ b = 78
La ecuación canónica es:
b. Calcula la distancia entre los focos.
a² = b² + c² ⇒ 8836 = 6084 + c² ⇒ c = 8√(43)
La distancia entre los focos es 2[8√(43)] = 16√(43) unidades de distancia
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