1. Usando la función trigonométrica seno, como indica la primera imagen coloca el tubo a los ángulos marcados en la tabla (la altura del tubo la puedes calcular de la ecuación h=L*sen θ). Obtén cinco mediciones del tiempo que tarda la canica en recorrer el tubo para cada uno de los ángulos y promédialos. Ten cuidado en soltar la canica sin darle impulso.
Medición Tiempo (s)
8° 12°
1
2
3
4
5
Promedio
Aceleración
2. Usando la ecuación que relaciona la posición final , el tiempo y la aceleración:
\vec{x_f}=\vec{x_o}+\vec{v_0}t+\frac{\vec{a}t^2}{2}
Despeja la aceleración y calcula el valor de ésta, para cada uno de los tiempos promedio que calculaste en la tabla del paso uno.
Nota: Considera el origen del tubo como tu origen en tu sistema de referencia (0 m), (x0), por lo que la posición final (xf) deberá ser igual a la longitud del tubo. Recuerda que la canica parte del reposo.
3. Utiliza el valor de la aceleración que obtuviste con el tiempo promedio calculado en cada ángulo, sustituye los valores en las ecuaciones de posición contra tiempo \vec{x_f}=\vec{x_o}+\vec{v_0}t+\frac{\vec{a}t^2}{2} y de velocidad contra tiempo \vec{v_f}=\vec{v_0}+\vec{a}t de cada una de las inclinaciones, para obtener las ecuaciones de movimiento de cada caso.
Toma como referencia el siguiente ejemplo para escribir tu función. Recuerda usar los valores que obtuviste. Usa unidades de metros para la posición, de m/s para la velocidad y de segundos para el tiempo)
4. Deriva las ecuaciones de la posición que obtuviste y compáralas con las ecuaciones de la velocidad. Explica en ocho a diez renglones a qué se debe este resultado.
5. Con la ecuación de movimiento usa la graficadora Geogebra para obtener las gráficas de cada una de las cuatro ecuaciones. Toma captura de pantalla de cada una de ellas y agrégalas al documento. Explica qué tipo de gráfica se obtiene en cada caso (recta, circunferencia, parábola, elipse, etcétera) y por qué.
Geogebra te permite escribir la ecuación tal cual, para escribir los subíndices teclea: guion bajo “_” y escribe 8 o 12, según sea el caso. Teclea el cursor a la derecha: “→” para salir del modo de subíndice. Por ejemplo, para escribir , debes teclear:
Y finalmente, haz clic en la tecla “Enter” cuando termines de teclear las ecuaciones.
6. Con base en el diagrama que descompone a la aceleración en el tubo inclinado, encuentra a cuál de los componentes corresponde la aceleración que calculaste (a, a cos θ o a sen θ); explica por qué la aceleración aumenta con el ángulo.
7. Despeja el valor de la aceleración “a” que calculaste con los promedios obtenidos de 8° y 12°, promedia ambos resultados y apunta su valor.
8. Explica en cinco renglones si el valor fue igual o diferente al valor de la aceleración de la gravedad y el porqué de tu resultado.
9. Basándote en la segunda ley de Newton y en la ley de la gravitación universal, redacta en cinco renglones por qué se produce un movimiento acelerado.
Respuestas
función trigonométrica seno :
Ecuación de la altura del tubo : h= L*senθ
1)
Para : 8º
Medición Tiempo (s)
1 10
2 12
3 11
4 10
5 11
Promedio : 10.8
Para : 12º
Medición Tiempo (s)
1 13
2 14
3 12
4 13
5 14
Promedio : 13.2
2. Aceleración :
xf = xo + Vo*t + a*t²/2
Se despeja la aceleración a :
xf -xo = Vo*t +a*t²/2
2*(xf-xo)= 2*Vo*t +a*t²/2
a = [ 2*(xf -xo) -2*Vo*t]/t²
Suponiendo : L= 10 m
a = [ 2*(10m-0 ) -2*0m/seg*10.8 seg]/(10.8seg )² = 0.17 m/seg2 para 8º .
a = [ 2*(10m-0 ) -2*0m/seg*13.2 seg]/(13.2seg )² = 0.11 m/seg2 para 12º .
3. Para 8º :
xf = xo +Vot +a*t²/2
xf = 0m + 0m/seg *t + 0.17m/seg2*t²/2
xf(t) = 0.085t²
Vf(t) = Vo +a*t
Vf (t) = 0.17t
Para 12º :
xf (t) = 0.055t²
Vf(t) = 0.11t
4. Derivando las ecuaciones de posición y velocidad resulta :
dxf(t)/dt = 0.17t y dxf(t)/dt = 0.11t
Los valores dan igual que aplicando la fórmula de velocidad , porque la derivada de la posición es el valor de velocidad, es decir : V(t) = dx(t)/dt .
5. Se adjuntan las gráficas de cada una de las cuatro ecuaciones. Ver adjunto .
Las ecuaciones X(t) son parábolas y las de V(t) son rectas.
6. a = 0.17 m/seg2 a = 0.17 m/seg2
a*cos 8º = 0.16 m/seg2 a*cos12º = 0.166 m/seg2
a*sen 8º = 0.023 m/seg2 a* sen12º = 0.035 m/seg2
a = 0.11 m/seg2 a = 0.11 m/seg2
a*cos 8º =0.1089 m/seg2 a*cos 12 º = 0.1075 m/seg2
a*sen8º = 0.0153 m/seg2 a*sen 12º = 0.0228 m/seg2
La aceleración aumenta con el angulo, porque el tubo tiene mayor pendiente y se desplaza mas rápido la canica.
7. a promedio = ( 0.11 +0.17 )/2 = 0.14 m/seg2
8. El valor de la aceleración es diferente al valor de la aceleración de gravedad, porque la canica al deslizarse por el tubo experimenta fricción.
