un gran reflector se diseña de manera que una seccion transversal a traves de su eje es una parabola y la fuente luminosa se encuentra en el foco. Determine la posicion de la fuente luminosa si el reflector mide 4 pies de lado a lado en la abertura y 2 pies de profundidad.
Respuestas
La fuente luminosa (el foco) debe estar a 0.5 pies de altura sobre el vértice del reflector parabólico.
Explicación paso a paso:
Vamos a suponer que se coloca el reflector de forma parabólica en el suelo, apoyando su vértice y con el eje perpendicular al piso. De esta forma podemos ubicar el origen de coordenadas precisamente en el vértice de la parábola, coincidiendo el eje de las x con el piso y el eje de las y con el eje de la parábola.
Aplicaremos la ecuación canónica:
Parábola de eje vertical: (x - h)² = ±4p(y - k)
donde
(h, k) = (0, 0) son las coordenadas del vértice.
p es la distancia, sobre el eje, desde el vértice al foco y a la directriz.
Dado que el reflector tiene 4 pies de lado a lado en la abertura y 2 pies de profundidad, significa que la parábola pasa por los puntos: (-2, 2) y (2, 2)
Parábola de eje vertical con: h = 0 k = 0
pasa por x = 2 y = 2
Ecuación: (2 - (0))² = 4p(2 - (0)) ⇒ p = ½
La distancia del vértice al foco es p = ½ pies medidos sobre el eje de la parábola. Este eje coincide con el eje y; así que el foco tiene coordenada (0, ½), pues el vértice es el origen.
En definitiva, la fuente luminosa (el foco) debe estar a 0.5 pies de altura sobre el vértice del reflector.