Question

Dada la ecuación x"(t) + 4x(t)=f(x), donde f(x)=1 en 0< t < 1 en , resolver
la ecuación diferencial con las condiciones x(0)=0, x(1)=0

Answer 1

La función deseada es x(t) = [ cos 2 - 1]/(4 sin 2) sin(2t) + ( 1 - cos(2t) ) / 4

Para poder resolver esta ecuación diferencia, debemos recordar que la función solución de una EDO no homogénea se escribe como

$x(t) = x_h(t) + x_p(t)$

Donde x_h es la solución para la ecuación homogénea y x_p es una función que se obtiene mediante el método de comparación de coeficientes. Determinamos primero x_h(t)

Si tenemos

$x_h''(t) + 4x_h(t) = 0\\\\\x_h''(t) + (2)^2x_h(t) = 0$

Nosotros sabemos que esta ecuación tiene por solución

$x_h(t) = Acos(2t) + Bsin(2t)$

Por lo tanto

$x(t) = Acos(2t) + Bsin(2t) + x_p(t)$

x_p(t) se utiliza por el método de comparación de coeficientes, es decir, decimos que

$x_p(t) = at + b$

Y lo comparamos con f(t)/4, es decir

$at + b = 1/4\\\\a = 0 ; b = 1/4$

Nota: Se hace esto por el 4 de x''(t) + 4x(t) para equilibrar por el coeficiente

Por lo tanto, la solución general es

$x(t) = Acos(2t) + Bsin(2t) + 1/4$

Si hacemos x(0) = 0, entonces

Acos(0) + Bsin(0)+ 1/4 = 0

A + 1/4 = 0

A = -1/4

x(1) = 0

-(1/4)cos(2) + Bsin(2) + 1/4 = 0

Bsin(1/2) = (1/4)[ cos(2) - 1 ]

B = [ cos(2) - 1 ] /(4 sin(2))

Y por lo tanto,

$x(t) = \frac{ cos(2) - 1 }{4sin(2)}sin(2t) + \frac{1 - cos(2t)}{4}$

Es la solución particular de la ecuación diferencial dada