Question

Calcula el valor promedio de las siguientes funciones, en el intervalo dado. Determina el valor de x en el cual ocurre el valor promedio de la función y traza su gráfica.
f(x)= 4x^2 - 2x en xϵ [1,4],
f(x)= x^3 + 1 , en xϵ [-2,2],
f(x)= Cosx , en [ (-π)/2, π/2 ]

Answer 1

El valor de x en el cual ocurre el valor promedio de la función es para :

 f(x)= 4x^2 - 2x en xϵ [1,4]     ⇒ x = 2.92

 f(x)= x^3 + 1 , en xϵ [-2,2]     ⇒ x = 0

 f(x)= Cosx , en [ (-π)/2, π/2 ]  ⇒ x = 0.88 rad .        

 El valor de x en el cual ocurre el valor promedio de la función se calcula como se muestra a continuación :

   f(x)= 4x^2 - 2x en xϵ [1,4]    

    fprom = 1/(4-1) *∫₁⁴ ( 4x^2 - 2x ) dx = ( 1/3) * [ 4x^3/3-2x^2/2 ] ₁⁴=

   f prom = (1/3)*[ (4*4^3/3 -4^2) - ( 4*1^3/3 -1^2 )]  = 85/3

      4x^2 -2x = 85/3

      4x^2 -2x -85/3=0  

         x = 2.92

 

   f(x)= x^3 + 1 , en xϵ [-2,2]    

    fprom= 1/(2-(-2) ) *[ ∫₋₂⁰ ( 0 - (x^3 +1 ) ) dx + ∫₀² ( x^3 +1 ) dx ]

    fprom =( 1/4)* { [  -x^4/4 -x ]₋₂⁰ + [ x^4/4 +x ]₀²}

    fprom = ( 1/4) * [ -2 + 6 ] = 1

       1 = x^3 +1    ⇒ x^3 = 0    ⇒ x = ∛0 = 0

  f(x)= Cosx , en [ (-π)/2, π/2 ]

                                                 π/2                               π/2  

     f prom = 1 /(π/2 - ( -π/2 )) * ∫cosx dx =  (1/π) * [senx]  =

                                               -π/2                                -π/2

  fprom = ( 1/π) * [ sen π/2 - sen (-π/2 )] = 1/π* ( 1 + 1 ) = 2/π

       2/π = cos x

         x = 0.88 rad