Question

Escribe un polinomio P(x) de grado 4 sabiendo que es divisible por (x+3), 2 es raíz doble, P(0)=0 y el resto de la división de P(x) por (x+1) es 6​

Answer 1

Para que el polinomio sea divisible por (x+3), uno de los factores del polinomio incluirá ese binomio. Iremos llamando "y,z..." al resto de los factores que nos faltan agregar en el polinomio. Entonces:

$P(x)=(x+3).y$

Luego, si 2 es raíz doble, quiere decir que existe 2 veces el binomio (x-2). Por lo tanto:

$P(x)=(x+3)(x-2)^2.z$

Para que P(0)=0, el 0 debe ser una raíz. Por lo tanto, debe existir un binomio del tipo:

$(ax+0)=ax$

Siendo entonces:

$P(x)=ax(x+3)(x-2)^2$

Por último, para que la división entre P(x) por (x+1) sea 6, se debe cumplir que P(-1)=6 (en base al teorema del resto). Por ende:

$6=a.(-1).(-1+3)(-1-2)^2\\6=-18a\\a=\frac{6}{-18} \\a=-\frac{1}{3}$

Siendo entonces el polinomio final:

$P(x)=-\frac{1}{3} x(x+3)(x-2)^2$

$P(x)=-\frac{x^4}{3}+\frac{x^3}{3}+\frac{8x^2}{3}-4x$

Espero haberte ayudado, saludos!