Progresiones
Tres numeros enteros estan en P.G. si al ultimo se le resta 32,se forma una P.A.;pero si al segundo termino de esta P.A. se le resta 4 se forma una nueva P.G. Segun ello,señale la suma de los tres numeros enteros
Respuestas
La suma de los tres números enteros:
2+4+8 =14
Explicación paso a paso:
Tres números enteros están en Progresión Geométrica: a₁, a₂ y a₃
x= a₁
a: es la razón
En una progresión geométrica
a₁ = x
a₂ = xr
a₃ =xr²
a₂/a₁ = a₃/a₂
a₂² =a₃*a₁
(xr)² = xr²*x
x²r² = x²r²
En una progresión aritmética:
a₁ =x
a₂ = x+r
a₃ =x+2r
a₂-a₁ = a₃-a₂
2a₂ = a₃+a₁
2(x+r) = x+2r+x
xr²-32 = x+2r (I Ecuación)
x+r-4 =xr
x-4 = xr-r
x-4 = r(x-1)
r = (x-4) /(x-1) (II Ecuación)
Reemplazamos II en I
x[(x-4) /(x-1)]² -32 = x+2[(x-4) /(x-1)]
x[(x²-2x+16) -32x²+64x-32/(x²-2x+1) = x²-x +2x-8 / x-1
x³+2x²+16x-32x²+64x-32 (x-1) = (x²-2x+1)(x²+x-8)
x³-30x²+70x-32 (x-1) = x⁴+x³-8x²-2x³-2x²+16+x²+x-8
x⁴-30x³+70x²-32x-x³+30x²-70x+32 = x⁴+x³-8x²-2x³-2x²+16+x²+x-8
-30x³+70x²-32x-x³+30x²-70x+32 = x³-8x²-2x³-2x²+16+x²+x-8
-31x³+100x²-102x+30 = -x³-9x²+x-8
-30x³+109x²-103x+38 = 0 Ecuación de tercer grado que determinamos con Ruffini
x=2
r = 2
Entonces:
a₁=2
a₂ =4
a₃ = 8
La suma de los tres números enteros:
2+4+8 =14