Question

Progresiones
Tres numeros enteros estan en P.G. si al ultimo se le resta 32,se forma una P.A.;pero si al segundo termino de esta P.A. se le resta 4 se forma una nueva P.G. Segun ello,señale la suma de los tres numeros enteros

Answer 1

La suma de los tres números enteros:

2+4+8 =14

Explicación paso a paso:

Tres números enteros están en Progresión Geométrica: a₁, a₂ y a₃

x= a₁

a: es la razón

En una progresión geométrica

a₁ = x

a₂ = xr

a₃ =xr²

a₂/a₁ = a₃/a₂

a₂² =a₃*a₁

(xr)² = xr²*x

x²r² = x²r²

En una progresión aritmética:

a₁ =x

a₂ = x+r

a₃ =x+2r

a₂-a₁ = a₃-a₂

2a₂ = a₃+a₁

2(x+r) = x+2r+x

xr²-32 = x+2r (I Ecuación)

x+r-4 =xr

x-4 = xr-r

x-4 = r(x-1)

r = (x-4) /(x-1) (II Ecuación)

Reemplazamos II en I

x[(x-4) /(x-1)]² -32 = x+2[(x-4) /(x-1)]

x[(x²-2x+16) -32x²+64x-32/(x²-2x+1) = x²-x +2x-8 / x-1

x³+2x²+16x-32x²+64x-32 (x-1) = (x²-2x+1)(x²+x-8)

x³-30x²+70x-32 (x-1) = x⁴+x³-8x²-2x³-2x²+16+x²+x-8

x⁴-30x³+70x²-32x-x³+30x²-70x+32 = x⁴+x³-8x²-2x³-2x²+16+x²+x-8

-30x³+70x²-32x-x³+30x²-70x+32 = x³-8x²-2x³-2x²+16+x²+x-8

-31x³+100x²-102x+30 = -x³-9x²+x-8

-30x³+109x²-103x+38 = 0 Ecuación de tercer grado que determinamos con Ruffini

x=2

r = 2

Entonces:

a₁=2

a₂ =4

a₃ = 8

La suma de los tres números enteros:

2+4+8 =14