Question

Una mesa grande para una sala de conferencias debe de tener la forma de un rectángulo
con dos semicircunferencias en los extremos, como se muestra en la figura. Encuentre la
longitud y el ancho de la parte rectangular, suponiendo que el perímetro de la mesa es de 30
metros y que el área de la parte rectangular debe de ser el doble de la suma de las áreas de
los dos extremos.

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Answer 1

Tarea:

Una mesa grande para una sala de conferencias debe de tener la forma de un rectángulo  con dos semicircunferencias en los extremos, como se muestra en la figura.

Encuentre la  longitud y el ancho de la parte rectangular, suponiendo que el perímetro de la mesa es de 30  m. y que el área de la parte rectangular debe de ser el doble de la suma de las áreas de  los dos extremos.

Respuesta:

Largo = 73,95 m.

Ancho = 47,10 m.

Explicación paso a paso:

He capturado la imagen de tu archivo y la he adjuntado abajo con más anotaciones.

Fijándonos en la mesa vemos que las semicircunferencias de los extremos formarán una circunferencia completa si las unimos por su diámetro que es "x" y que coincide con el ancho del rectángulo.

De ahí se puede deducir que el radio es la mitad, o sea, x/2.

Hay que calcular las dos dimensiones del rectángulo y para ello se plantea un sistema de ecuaciones con dos incógnitas que son dichas dimensiones.

Por un lado aprovecharemos el dato de que la superficie del rectángulo será el doble de la superficie del círculo que forman las dos semicircunferencias así que la ecuación dirá que el doble de esa superficie es igual a la superficie del rectángulo.

El área del círculo es el producto de $\pi$ por el radio al cuadrado y recordemos que el radio es x/2 .

Por otro lado, el área del rectángulo es el producto del largo por el ancho, es decir:  x·y

Se plantea y reduce la ecuación:

$2*\pi* (\dfrac{x}{2} )^2=x*y\\ \\ \\ 2*\pi* \dfrac{x^2}{4}=x*y\\ \\ \\ \dfrac{\pi x^2}{2} =xy\\ \\ \\ \dfrac{\pi x^2}{2x} =y\\ \\ \\ y=\dfrac{\pi x}{2}$

La segunda ecuación se basará en el perímetro que también nos dan como dato el cual consta de la longitud completa de la circunferencia (perímetros de las dos semicircunferencias) y el doble del largo del rectángulo.

La longitud de una circunferencia se obtiene con la fórmula:  2·π·r,  y recordemos de nuevo que el radio es  x/2 así que la fórmula quedaría como: 2·π·x / 2  = π·x

El doble del largo del rectángulo es 2y

Planteo la ecuación que expresa que ambas longitudes sumadas me darán los 30 m. del perímetro.

$\pi x+2y=30$

Sustituyo el valor de "y" de esta 2ª ecuación por su valor en la primera que ya está despejado:

$\pi x+2*\dfrac{\pi x}{2} =30\\ \\ \\ \pi x+\pi x=30\\ \\ \\ 2\pi x=30\\ \\ \\ x=\dfrac{30}{2\pi } =15\pi \ m.\ = 47,10\ m.\ mide\ el\ ancho.$

Obtener el largo es sustituir este valor en el despeje de "y" de la primera ecuación:

$y=\dfrac{\pi x}{2} =\dfrac{\pi *15\pi }{2} =7,5\pi ^2\ = 73,95\ m.\ mide\ el\ largo.$

Saludos.