Question

Dos partículas se mueven a diferentes velocidades, pero constantes, alrededor de una circunferencia de 276 m de longitud. Hallar sus velocidades sabiendo que si parten del mismo punto e instante en sentido contrario se cruzan cada 6 segundos, y si lo hacen en las mismas condiciones, pero en el mismo sentido, se cruzan cada 23 segundos.

Answer 1

Respuesta:

$v_1=17,57m/s\\v_2=28,55m/s$

Explicación paso a paso:

Analicemos los datos:

*Primero vamos a necesitar el radio, el cual, según la fórmula del perímetro:

$perimetro=2\pi.r\\\\r=\frac{perimetro}{2\pi} \\\\r=\frac{276m}{2\pi} \\\\r=43,93m$

*Ahora supongamos el intervalo desde que se cruzan hasta donde se vuelven a cruzar, siendo las velocidades de sentido contrario:

El primero (ω1), se volverá a cruzar con el segundo (ω2) habiendo realizado una distancia angular:

$\theta=\omega_{1} .6s$

Mientras que el segundo se volverá a cruzar habiendo realizado una distancia angular:

$2\pi-\theta=\omega_{2} .6s$

Vamos a despejar tita en ambos, y vamos a igualar las ecuaciones:

$\theta=\theta\\\omega_{1} .6s=2\pi-\omega_{2}.6s$

Esto aún no es suficiente, porque llegamos a una ecuación con dos incógnitas. Necesitamos una segunda ecuación para encontrar los resultados.

*A continuación, vamos a suponer un intervalo desde que se cruzan hasta donde se vuelven a cruzar, siendo las velocidades del mismo sentido:

ω1 se cruzará con ω2 después de haber realizado una distancia Ф, es decir:

$\phi=\omega_{1}.24s$

Mientras que ω2 se cruzará con ω1 después de haber realizado una distancia Ф + 2pi (un giro completo). Es decir:

$\phi+2\pi=\omega_{2}.24s\\\phi=\omega_{2}.24s-2\pi$

Igualamos las phi:

$\phi=\phi\\\omega_{1}.24s=\omega_{2} .24s-2\pi$

*Ahora sí, tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas:

$\omega_{1}.24s=\omega_{2} .24s-2\pi$

$\omega_{1} .6s=2\pi-\omega_{2}.6s$

Vamos a despejar una de las velocidades y luego igualaremos:

$\omega_1=\frac{2}{6} \pi-\omega_2\\\\\omega_1=\omega_2-\frac{2}{24} \pi\\\\\\\omega_1=\omega_1\\\\\frac{2}{6} \pi-\omega_2=\omega_2-\frac{2}{24}\pi\\\\\omega_2=0,65rad/s$

$\omega_1=\frac{2}{6} \pi-\omega_2\\\\\omega_1=0,40rad/s$

*Tenemos los valores de las velocidades angulares, pero necesitamos las tangenciales:

Simplemente multiplicamos cada una por el radio:

$v_1=\omega_1.r=0,40rad/s.43,93m=17,57m/s\\v_2=\omega_2.r=0,65rad/s.43,93m=28,55m/s$

Siendo estos los valores finales de velocidad.

Espero haberte ayudado, saludos!