Question

Encuentre valores de a, b y c tales que el sistema de ecuaciones tenga: a) una solución única, b) un número infinito de soluciones y c) ninguna solución

x + 5y + z=0

x + 6y - z=0

2x + ay + bz= c

Answer 1

Utilizando matrices, debemos tener en cuenta unas cosas:

*La matriz principal (MP) es aquella que contenga los coeficientes de las incógnitas.

*La matriz ampliada (MA) es aquella que contiene los coeficientes de las incógnitas, más la columna de los resultados o términos independientes.

*El rango de una matriz es la cantidad de vectores linealmente independientes que posea (si aún no entiendes que es un vector LI, te recomiendo que lo averigües y lo entiendas antes de continuar)

*Sí:

a) Rango(MP)=Rango(MA)=NI (Número de incógnitas)

El sistema tiene una solución única

b) Rango(MP)=Rango(MA)≠NI

El sistema tiene infinitas soluciones

c) Rango(MP)≠Rango(MA) El sistema no tiene solución

Teniendo las nociones básicas, procedemos a armar la matriz principal y la ampliada:

$MP=\left[\begin{array}{ccc}1&5&1\\1&6&-1\\2&a&b\end{array}\right]$ $MA=\left[\begin{array}{cccc}1&5&1&0\\1&6&-1&0\\2&a&b&c\end{array}\right]$

Ahora que ya tenemos las matrices, procedemos a encontrar valores:

c) Empecemos con este. Como ya dijimos, el rango de la matriz ampliada debe ser distinta a la de la MP para no tener solución. Uno de los trucos aquí siempre va a ser convertir la fila que contiene los valores a y b, en linealmente dependientes con respecto a la fila 1 o 2 (vamos a elegir la 1).

Por lo tanto, vamos a asignarle los valores de 10 a "a" y 2 a "b" de tal forma que: fila3(2;10;2)=2.[fila1(1;5;1)]. De esta forma, la fila 3 ya es LD. Luego, necesitamos que la MA tenga todas sus filas LI, por lo que a c le vamos a asignar cualquier valor distinto de cero. De esta forma:

$MA=\left[\begin{array}{cccc}1&5&1&0\\1&6&-1&0\\2&10&2&3\end{array}\right]\\\\MA=\left[\begin{array}{cccc}1&5&1&0\\1&6&-1&0\\0&0&0&3\end{array}\right]$

Como se puede ver, el rango de la MP es 2 y la de la MA es 3, por lo que es incompatible. Esto se puede ver también de otro modo.

Si x+5y+z=0, se supone que al multiplicarlo por 2, nos quede 2x+10y+2z=0.

Sin embargo, en la matriz tenemos que c=3, por lo que no va a tener solución.

b) Para este caso, el rango de la MP debe ser igual que la de MA, pero debe ser diferente al número de incógnitas. Por lo tanto, si el NI es 3, tenemos que hacer que el rango de MP y MA sean 2.

Como hicimos en el punto anterior, asignaremos a "a" el valor de 10 y a "b" el valor de 2. De esta manera, la fila será L.D.

Para el caso de "c", asignaremos el valor de 0, para que toda la fila de la matriz ampliada también sean L.D.

De este modo, el sistema nos dará un número infinito de soluciones.

a) Por último, en este caso basta con que el rango de la MA y la MP sean iguales a 3, eligiendo números que hagan a todas las filas L.I.

En mi caso, elegiré a a=8, b=10 y c=5

Espero haberte ayudado, saludos!

Answer 2

Respuesta:

Explicación paso a paso:

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