Demostrar usando inducción matemática, que 2(10)^(n+2) + 4(10)^(n)+3, es divisible por 9 para todo entero positivo n
Respuestas
Se demuestra por inducción que la expresión es divisible entre 9 para todo número entero positivo
Queremos demostrar por inducción que:
2*10ⁿ⁺² + 4*(10ⁿ) + 3
es divisible para por 9: un número es divisible por 9 si la suma de todas sus cifras los es
Caso base: cono n es natural positivo, entonces el caso base es n = 1
2*10¹⁺² + 4*10¹ + 3 = 2*10³ + 4*10 + 3 = 2000 + 40 + 3 = 2043 La suma de sus cifras es 2 + 0 + 4 + 3 = 9. Entonces se cumple para n = 1
Hipotesis inductiva: n = a suponemos para el caso n = a se cumple, entonces se cumple para
2*10ᵃ⁺² + 4*(10ᵃ) + 3
Como se cumple entonces la expresión es multiplo de 9:
2*10ᵃ⁺² + 4*(10ᵃ) + 3 = 9k, k ∈ Z
⇒2*10ᵃ⁺² + 4*(10ᵃ) = 9k - 3, k ∈ Z
Queremos demostrar que: suponiendo la hipotesis inductiva también se cumple para n = a + 1 si n = a + 1 entonces la expresión es:
2*10ᵃ⁺³ + 4*(10ᵃ⁺¹) + 3
= 2*(10ᵃ⁺²*10) + 4*10*10ᵃ + 3
= 10*(2*10ᵃ⁺² + 4*(10ᵃ)) + 3
Usando la hipotesis inductiva:
= 10*(9k - 3) + 3 k ∈ Z
= 90k - 30 + 3, k ∈ Z
= 90k - 27, k ∈ Z
= 9*(10k - 3), k ∈ Z
Como k esta en los enteros: 10k - 3 = k1, también esta en los enteros tenemos que:
2*10ᵃ⁺³ + 4*(10ᵃ⁺¹) + 3 = 9k1.
Entonces es divisible entre 3
Por Inducción queda demostrado que es valido para todo n positivo que la expresión sea divisible entre 9