Question

Resuelve las siguientes ecuaciones (p.47): 362. cos⁻¹(2x) - sen⁻¹x = 0 363. arcosen2x = -arccosx

Answer 1

Al resolver las ecuaciones trigonométrica se obtiene:

362. x = 30° ó x = π/6

        x = - 90° ó x = -π/2

363. x = 30° ó x = π/6

Explicación:

362. cos⁻¹(2x) - sen⁻¹x = 0

cos⁻¹(2x) = sen⁻¹x

1/cos(2x) = 1/sen(x)

multiplicar por cos(2x)sen(x) a ambos lados;

sen(x) = cos(2x)

Aplicar identidad trigonométrica;

cos(2x) = cos²(x) - sen²(x)

sustituir;

sen(x) = cos²(x) - sen²(x)

Aplicar identidad trigonométrica;

cos²(x) + sen²(x)  = 1

despejar cos²(x);

cos²(x) = 1- sen²(x)

sustituir;

sen(x) =  1- sen²(x) - sen²(x)

sen(x) = 1 - 2 sen²(x)

2 sen²(x) + sen(x) -1 = 0

Aplicar cambio de variable;

u = sen(x)

2 u² + u - 1 = 0

Aplicar la resolvente;

u₁,₂ = -1±√(1²-4(2)(-1))/2(2)

u₁,₂ = -1±√(9)/4

u₁,₂ = (-1±3)/4

u₁ = 1/2

u₂ = -1

Devolver el cambio de variable;

sen(x) = 1/2 ⇒ x = sen⁻¹(1/2) = 30°

sen(x) = -1 ⇒ x = sen⁻¹(-1) = -90°

363. arcsen(2x) = -arccosx

arcsen(2x) = 1/sen(2x)

arccos(x) = 1/cos(x)

sustituir;

1/sen(2x) = - 1/cos(x)

multiplicar por sen(2x)cos(x) a ambos lados;

cos(x) = -sen(2x)

Aplicar identidad trigonométrica;

sen(2x) = 2 sen(x)cos(x)

sustituir;

cos(x) = 2 sen(x)cos(x)

2 sen(x) = 1

sen(x) = 1/2

x = sen⁻¹(1/2)

x = 30° ó x = π/6