Question

La potencia de un generador eléctrico está dada por la expresión P(t) = vo²/R · sent²(2πft) donde, vo es la velocidad inicial del generador, R la resistencia y f la frecuencia (p.35) 258. Demuestra que la expresión vo²/2R[1-cos(4πft)] es equivalente a P(t). 259. Encuentra una expresión equivalente en términos de tangente.

Answer 1

Se demuestra que la expresiones son equivalentes

La expresión en términos de tangente es    $P_{(t)} = \frac{vo^2}{R*(\frac{tan^2(2\pi*f*t}{1+tan^2(2\pi*f*t)} )}$

Explicación:

Para la primera parte se utilizan la siguiente identidades trigonométricas

$sen^2x = \frac{1}{2} (1-cos^2{2x})$

$P_{(t)} = \frac{vo^2}{R*(sen^2(2\pi*f*t))}$

Aplicando la identidad trigonométrica nos queda

$\frac{vo^2}{2*R(1-cos2*(2\pi*f*t))} =\frac{vo^2}{2*R(1-cos(4\pi*f*t))}$

Para la parte 2 se sabe que

$cos(x) = \frac{1}{sec(x)} \\sen^2(x) = 1 - cos^2(x)\\sec^2(x) = 1 + tg^2(x)$

Aplicando la segunda identidad a la ecuación de P(t) nos queda

$P_{(t)} = \frac{vo^2}{R*(1-cos^2(2\pi*f*t))}$

Aplicando la primera identidad a la ecuación anterior

$P_{(t)} = \frac{vo^2}{R*(1-\frac{1}{sec^2(2\pi*f*t)} )}$

Aplicando la tercera identidad

$P_{(t)} = \frac{vo^2}{R*(1-\frac{1}{1+tan^2(2\pi*f*t)} )}$

Simplificando

$P_{(t)} = \frac{vo^2}{R*(\frac{tan^2(2\pi*f*t}{1+tan^2(2\pi*f*t)} )}$