Question

Calcula el valor del parámetro a para que los
números a+2, 3a+2, 9a-2 sean
los tres primeros términos de una progresión geométrica.​

Answer 1

Respuesta:

a=2

Explicación paso a paso:

El término general de una sucesión geométrica se calcula a partir del primer término a1 y de la razón r:

$a_{n} =a_{1}*r^{n-1}$

Como según el enunciado a1 = a+2,  aplicando la fórmula podemos calcular a2:

$a_{2} =a1*r^{2-1} =(a+2)r$

Como según el enunciado a2 = 3a+2 podemos igualar este valor de a2 con el valor calculado de a2 y despejar r:

$3a+2 = (a+2)*r\\r = \frac{3a+2}{a+2}$

De igual manera, como según el enunciado a1 = a+2,  aplicando la fórmula podemos calcular a3:

$a_{3} =a1*r^{3-1} =(a+2)r^{2}$

Como según el enunciado a3= 9a-2 podemos igualar este valor de a3 con el valor calculado de a3 y despejar r:

$3a+2 = (a+2)*r\\r = \frac{3a+2}{a+2}$

$9a-2=(a+2)r^{2} \\r=\sqrt{\frac{9a-2}{a+2} }$

Procedemos a igualar los dos valores obtenidos de r y a despejar la incógnita a:

$\frac{3a+2}{a+2}=\sqrt{\frac{9a-2}{a+2}} \\\left(\frac{3a+2}{a+2}\right)^2=\frac{9a-2}{a+2}\\\frac{\left(3a+2\right)^2}{\left(a+2\right)^2}=\frac{9a-2}{a+2}\\\left(3a+2\right)^2\left(a+2\right)=\left(a+2\right)^2\left(9a-2\right)$

$\left(3a+2\right)^2=\frac{\left(a+2\right)^2\left(9a-2\right)}{\left(a+2\right)} \\\left(3a+2\right)^2=\left(a+2\right)\left(9a-2\right)}$

Aplicando la fórmula del binomio al cuadrado

$\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2$

el primer término queda:

$\left(3a+2\right)^2=\left(3a\right)^2+2\cdot \:3a\cdot \:2+2^2=9a^2+12a+4$

Operando con el segundo término:

$\left(a+2\right)\left(9a-2\right)=a\cdot \:9a+a\left(-2\right)+2\cdot \:9a+2\left(-2\right)=9aa-2a+2\cdot \:9a-2\cdot \:2=9a^2+16a-4$

Volvemos a establecer la igualdad entre primer y segundo términos, y procedemos a despejar la incógnita a:

$9a^2+12a+4=9a^2+16a-4\\9a^2-9a^2+12a-16a=-4-4\\-4a=-8\\a=\frac{-8}{-4} \\a=2$