Question

El área sombreada en la figura es igual a 25 cm^2. Además se sabe que el lado CD del rectángulo CDEF es el doble de el lado DE, y que los semicírculos laterales (CF) y (DE) tienen centro en A y B, respectivamente. Determinar el perímetro de la figura.​

Answer 1

El perímetro de la figura mostrada es igual a 26,7 metros.

Explicación paso a paso:

El área total de la figura se puede expresar como la del círculo que se forma con los dos semicírculos más la del rectángulo CDFE, su expresión queda:

$A=\pi \frac{FC^2}{4}+FC.DC$

En cuanto al rectángulo CDFE, se puede decir que el área sombreada del mismo es la mitad del área del rectángulo, lo cual puede demostrarse al trazar en cada vértice de los rectángulos sombreados perpendiculares a los lados CD y FE (el rectángulo se verá dividido en distintos rectángulos cada uno de los cuales tendrá sombreada un área equivalente a la mitad de su área). Por ende el área sombreada queda:

$A=\pi \frac{FC^2}{4}+\frac{FC.DC}{2}$

Si ahora CD es el doble de FC queda:

$A=\pi \frac{FC^2}{4}+\frac{FC.2CD}{2}=\pi \frac{FC^2}{4}+FC^2$

De aquí se puede despejar la longitud de FC:

$\pi \frac{FC^2}{4}+FC^2\\\\FC=\sqrt{\frac{A}{1+\frac{\pi}{4}}}=\sqrt{\frac{25m^2}{1+\frac{\pi}{4}}}=3,74m$

Ahora el perímetro de la figura mostrada es:

$P=FC.\pi+2FC+2FC=FC(\pi+4)=3,74m(\pi+4)\\\\P=26,7m$