Question

Mediante el método de la regla de la cadena determine ∂z/∂n y ∂z/∂m para las siguientes expresiones matemáticas

Answer 1

Por medio del método de la regla de la cadena se obtiene:

a) ∂z/∂n = (-Sen(nm³)Sen(n³m))[-m³Cos(nm³)Sen(n³m)

                -2n²mCos(n³m)Sen(nm³)] + Cos(nm³)Cos(n³m)

                 [-m³Sen(nm³)Cos(n³m) - 3n²mSen(n³m)Cos(nm³)]

  ∂z/∂m = (-Sen(nm³)Sen(n³m))[-2nm²Cos(nm³)Sen(n³m)  

                  -n³Cos(n³m)Sen(nm³)] + (Cos(nm³)Cos(n³m))  

                   [-2nm²sen(nm³)Cos(n³m)-n³Sen(n³m)Cos(nm³)]

b) ∂z/∂n = (e^(nm)Cos(√n²+m²))[me^(nm)Cos(√n²+m²)

             - (nSen(√n²+m²)/√n²+m²)e^(nm)] + ( -e^rSenδ = -e^(nm)Sen(√n²+m²))

             + [-me^(nm)Sen(√n²+m²) -(nCos(√n²+m²)/√n²+m²)e^(nm)]

∂z/∂m = (e^rCosδ = e^(nm)Cos(√n²+m²))[ne^(nm)Cos(√n²+m²) -    

              (mSen(√n²+m²)/√n²+m²)e^(nm)] + (-e^rSenδ = -e^(nm)Sen(√n²+m²))

              [-ne^(nm)Sen(√n²+m²) -(mCos(√n²+m²)/√n²+m²)e^(nm)]

Explicación paso a paso:

a) z = CosΘ Senα

  Θ = nm³  ; α = n³m

La regla de la cadena;

∂z/∂n = ∂z/∂Θ·∂Θ/∂n+∂z/∂α·∂α/∂n

∂z/∂Θ = -SenΘSenα = -Sen(nm³)Sen(n³m)

∂Θ/∂n = -m³Cos(nm³)Sen(n³m) -2n²mCos(n³m)Sen(nm³)

∂z/∂α = CosΘCosα = Cos(nm³)Cos(n³m)

∂α/∂n = -m³Sen(nm³)Cos(n³m) - 3n²mSen(n³m)Cos(nm³)

Sustituir;

∂z/∂n = (-Sen(nm³)Sen(n³m))[-m³Cos(nm³)Sen(n³m) -2n²mCos(n³m)Sen(nm³)]                    

            + Cos(nm³)Cos(n³m)[-m³Sen(nm³)Cos(n³m) - 3n²mSen(n³m)Cos(nm³)]

La regla de la cadena;

∂z/∂m = ∂z/∂Θ·∂Θ/∂m+∂z/∂α·∂α/∂m

∂z/∂Θ = -SenΘSenα = -Sen(nm³)Sen(n³m)

∂Θ/∂m = -2nm²Cos(nm³)Sen(n³m) -n³Cos(n³m)Sen(nm³)

∂z/∂α = CosΘCosα = Cos(nm³)Cos(n³m)

∂α/∂m = -2nm²sen(nm³)Cos(n³m)-n³Sen(n³m)Cos(nm³)

Sustituir;

∂z/∂m = (-Sen(nm³)Sen(n³m))[-2nm²Cos(nm³)Sen(n³m) -n³Cos(n³m)Sen(nm³)]

             + (Cos(nm³)Cos(n³m))[-2nm²sen(nm³)Cos(n³m)-n³Sen(n³m)Cos(nm³)]

b) z = e^rCosδ

   r = nm ; δ =√n²+m²

La regla de la cadena;

∂z/∂n = ∂z/∂r·∂r/∂n+∂z/∂δ·∂δ/∂n

∂z/∂r = e^rCosδ = e^(nm)Cos(√n²+m²)

∂r/∂n = me^(nm)Cos(√n²+m²) - (nSen(√n²+m²)/√n²+m²)e^(nm)

∂z/∂δ = -e^rSenδ = -e^(nm)Sen(√n²+m²)

∂δ/∂n = -me^(nm)Sen(√n²+m²) -(nCos(√n²+m²)/√n²+m²)e^(nm)

Sustituir;

∂z/∂n = (e^(nm)Cos(√n²+m²))[me^(nm)Cos(√n²+m²)

             - (nSen(√n²+m²)/√n²+m²)e^(nm)] + ( -e^rSenδ = -e^(nm)Sen(√n²+m²))

             + [-me^(nm)Sen(√n²+m²) -(nCos(√n²+m²)/√n²+m²)e^(nm)]

La regla de la cadena;

∂z/∂m = ∂z/∂r·∂r/∂m+∂z/∂δ·∂δ/∂m

∂z/∂r = e^rCosδ = e^(nm)Cos(√n²+m²)

∂r/∂m = ne^(nm)Cos(√n²+m²) - (mSen(√n²+m²)/√n²+m²)e^(nm)

∂z/∂δ = -e^rSenδ = -e^(nm)Sen(√n²+m²)

∂δ/∂m = -ne^(nm)Sen(√n²+m²) -(mCos(√n²+m²)/√n²+m²)e^(nm)

Sustituir;

∂z/∂m = (e^rCosδ = e^(nm)Cos(√n²+m²))[ne^(nm)Cos(√n²+m²) -    

              (mSen(√n²+m²)/√n²+m²)e^(nm)] + (-e^rSenδ = -e^(nm)Sen(√n²+m²))

              [-ne^(nm)Sen(√n²+m²) -(mCos(√n²+m²)/√n²+m²)e^(nm)]