Los siguientes datos de programa de programación lineal se usan para la planificación mensual de las tareas de una planta donde se fabrican 3 productos (P1, P2 y P3) y que se procesan en tres áreas diferentes (T1, T2 y T3) con disponibilidades horarias para el mes de marzo de 2020 respectivas de 900, 480 y 400 horas al mes.
Maximizar: Z = 8 X1 + 6 X2 + 6 X3
Sujeto a:
1,5 X1 + 2,5 X2 + 1,8 X3 ≤ 900
1,7 X1 + 1,5 X2 + 1,9 X3 ≤ 480
1,8 X1 + 1,2 X2 + 1,7 X3 ≤ 400
X1, X2, X3 ≥ 0
Con los datos anteriores:
a. Resuélvalo por el método simplex.
b. ¿Cuál es la utilidad que genera la producción para el mes de marzo?
c. ¿Deben fabricarse los 3 productos?, si la respuesta es negativa, indique cuáles
Respuestas
La máxima utilidad se obtiene si se fabrican los productos 1 y 2 solamente.
Explicación paso a paso:
a. Resuélvalo por el método simplex.
Llamaremos:
X1 = unidades a producir de producto 1
X2 = unidades a producir de producto 2
X3 = unidades a producir de producto 3
Función objetivo: Maximizar Z = 8X1 + 6X2 + 6X3 (Utilidad)
Condiciones del problema:
1,5X1 + 2,5X2 + 1,8X3 ≤ 900
1,7X1 + 1,5X2 + 1,9X3 ≤ 480
1,8X1 + 1,2X2 + 1,7X3 ≤ 400
Condiciones de no negatividad:
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
X3 ≥ 0
1.- Las condiciones del problema se escriben como igualdades agregando variables de holgura:
Función objetivo: Maximizar
Z(x1,x2,x3,h1,h2,h3) = 8X1 + 6X2 + 6X3 + 0h1 + 0h2 + 0h3
Condiciones del problema:
1,5X1 + 2,5X2 + 1,8X3 + h1 = 900
1,7X1 + 1,5X2 + 1,9X3 + h2 = 480
1,8X1 + 1,2X2 + 1,7X3 + h3 = 400
2.- Se construye una tabla con los coeficientes de las condiciones y la función objetivo (en negativo):
Se obtiene la primera solución: Z(0,0,0,900,480,400) = 0
3.- Se transforma la tabla para obtener una nueva solución. Para ello:
3.1.- Se selecciona la columna pivote aquella con el número negativo de mayor valor absoluto en la última fila.
Primera columna.
3.2.- Se selecciona la fila pivote aquella con el menor cociente positivo entre la columna B y la columna pivote.
Los cocientes positivos serian:
900/(3/2) = 600 480/(17/10) = 4800/17 400/(9/5) = 2000/9
Tercera fila.
3.3.- El elemento donde se cruzan la fila y la columna pivote es el elemento pivote. Este se transforma en uno (1) dividiendo la fila pivote entre el valor del elemento pivote (9/5).
3.4.- Se anula el resto de la columna pivote usando el uno como pivote.
Se multiplica fila 3 por (-3/2) y se suma a la fila 1.
Se multiplica fila 3 por (-17/10) y se suma a la fila 2.
Se multiplica fila 3 por (8) y se suma a la fila 4.
3.5.- Se intercambian las variables de la columna pivote y la fila pivote,
Se obtiene la segunda solución: Z(2000/9,0,0,1700/3,620/9,0) = 16000/9
4.- Se revisa la última fila de la tabla y, como hay valores negativos, se repite el paso 3.
4.1.- Segunda columna es columna pivote.
4.2.- Segunda fila es fila pivote, ya que los cocientes positivos serian:
(1700/3)/(3/2) = 3400/9 (620/9)/(11/30) = 6200/33 (2000/9)/(2/3) = 1000/3
4.3.- El elemento pivote es el número 11/30; se divide la fila pivote por 11/30.
4.4.- Se anula el resto de la columna pivote.
Se multiplica fila 2 por (-3/2) y se suma a la fila 1.
Se multiplica fila 2 por (-2/3) y se suma a la fila 3.
Se multiplica fila 2 por (2/3) y se suma a la fila 4.
4.5.- Se intercambian las variables de la columna pivote y la fila pivote,
Se obtiene la tercera solución: Z(3200/33,6200/33,0,9320/33,0,0) = 62800/33
5.- Se revisa la última fila de la tabla y, ya que no hay valores negativos, se selecciona la mejor solución.
La solución máxima de la función objetivo (utilidad) es
Z = 62800/33
cuando se producen
3200/33 ≅ 96 unidades del producto 1 y
6200/33 ≅ 187 del producto 2.
b. ¿Cuál es la utilidad que genera la producción para el mes de marzo?
La utilidad en el mes de marzo es de 62800/33 = 1903 unidades monetarias
c. ¿Deben fabricarse los 3 productos?, si la respuesta es negativa, indique cuáles
Solo deben fabricarse los productos 1 y 2.
El cual está sujeto a las condiciones de:
Minimizar: Z = 5 X1 + 7 X2
Sujeto a:
2 X1 + 2 X2 ≥ 480
3 X1 + 2 X2 ≥ 450
1 X1 + 3 X2 ≥ 500
X1, X2 ≥ 0
Identifique las condiciones respuesta de:
a. Función objetivo, costo minimizado.
b. Valor de la variable X1.
c. Valor de la variable X2.
d. Valor de las coordenadas limitantes del gráfico y el valor de la función objetivo.
El cual está sujeto a las condiciones de:
Maximizar: Z = 5 X1 + 7 X2
Sujeto a:
2 X1 + 2 X2 ≤ 480
3 X1 + 2 X2 ≤ 450
1 X1 + 3 X2 ≤ 500
X1, X2 ≥ 0
Identifique las condiciones respuesta de:
a. Función objetivo, utilidad maximizada.
b. Valor de la variable X1.
c. Valor de la variable X2.
d. Valor de las coordenadas limitantes del gráfico y el valor de la función objetivo.