Question

Ayuda Tema Energía mecánica
Una esfera es soltada en la posición A si se desprecia la fuerza de rozamiento determina la longitud de x (gravedad 10 m /s2)
R =0.8 m
1.25m

Answer 1

Primero definimos el nivel de referencia y=0 [m] en el nivel más bajo (opcional).

Luego, establecemos puntos de referencia A,B,C en puntos necesarios, para usar el teorema de la conservación de la energía:

A: El punto de partida

B: Final del tramo circular

C: Punto de llegada

Tomando eso en cuenta, aplicamos el teorema:

ΔE = ∑Wfnc

Observamos las fuerzas que actúan sobre la esfera:

Nota: Se desprecia la fuerza de fricción por condición del problema

>Primero desde A->B: La fuerza normal y el peso

>Segundo desde B->C: El peso

>Donde el peso es una fuerza conservativa.

>La normal es una fuerza no conservativa, sin embargo el trabajo realizado por la normal es la proyección de la fuerza sobre el desplazamiento:

W= ∫ F.dr

W= ∫N.dr

*La fuerza normal es perpendicular al desplazamiento durante todo instante de tiempo desde A hasta B.

*Producto escalar

N.dr= | N | *  |dr| * cos90

N. dr = 0

El trabajo realizado es nulo, por consiguiente, por el teorema de conservación de la energía es:

ΔE = ∑Wfnc

ΔE = 0

Kf + Uf = Ki + Ui

donde:  

Kf,i = energía cinética final/inicial

Uf,i = energía potencial final/inicial

Aplicamos desde el tramo  A->B

*Datos :  h= 1.25 m , g= 10 m/s², R=0.8 m

*La pelota se suelta desde el reposo v= 0 m/s, entonces Ki= 0

*Tomamos las referencia desde nuestro nivel de referencia

1/2*mVb² + mgh = mg(h + R)

1/2*mVb²=mgR

Vb²=2gR

Cuando la pelota llega a B, esta sale disparada como un proyectil. Por lo tanto, aplicamos cinemática para proyectiles hasta que llegue a C.

Nota: Aplicamos esto ya que tenemos el dato de su velocidad inicial en B que hallamos previamente.

Utilizamos un sistema de referencia XY tomando como origen O la parte inferior al tramo circular ( en el suelo) y al inicio de la longitud X.

O =(0 ; 0) m

Nota : La dirección de la velocidad tiene pendiente nula porque al salir de tramo circular la velocidad en el punto B la recta tangente tiene pendiente nula. Entonces la velocidad hallada en B tiene solo coordenadas en en el eje X.

Vb= ( √2gR ; 0 ) m/s

Su ley de movimiento será:

r(t) = (Vb*t   ; h- gt²/2 ) m

El proyectil alcanzara la distancia x en C, cuando y = 0, por consiguiente:

>x= Vb * t

>0= h-gt²/2

2h/g=t²

√2h/g = t

Reemplazando en x:

>x=√2gR * √2h/g

x=√4hR

Reemplazando valores numéricos:

x=2 m