Question

29. De las raíces de la ecuación x2 + 3x - 7 puede afirmarse que
(1) la suma de sus raíces es -3
(2) el producto de sus raíces es -7
Es correcto asegurar que:

A. (1) es verdadera y (2) es verdadera
B. (1) es falsa y (2) es verdadera
C. (1) es verdadera y 2 es falsa
D. (1) es falsa y (2) es falsa​

Answer 1

Hola...!!

PASO 1: Para encontrar lo que se pide primero debemos hallar las raices, para lo cual igualamos el polinomio a cero:

                                             $x^2+3x-7=0$

Tenemos una ecuación cuadrática de la forma ax² + bx + c = 0, en donde:

                                                     $a=1\\b=3\\c=-7$

Ahora reemplazamos los datos en la fórmula general, entonces:

$\textbf{F\'ormula General}\quad\Longrightarrow\boxed{\boldsymbol{x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac} }{2a} }}$

                                       $x=\dfrac{-(3)\pm\sqrt{(3)^2-4(1)(-7)} }{2(1)}\\ \\ \\x=\dfrac{-3\pm\sqrt{9+28} }{2}\\ \\ \\x=\dfrac{-3\pm\sqrt{37} }{2}$

Para hallar la primera raíz calculamos X₁ :

      $\boldsymbol{x_{1}}=\dfrac{-3+\sqrt{37} }{2}\quad\Longrightarrow\boxed{\textbf{Primera ra\'iz.}}$

Para hallar la segunda raíz calculamos X₂ :

     $\boldsymbol{x_{2}}=\dfrac{-3-\sqrt{37} }{2}\quad\Longrightarrow\boxed{\textbf{Segunda Ra\'iz.}}$

PASO 2: Ya tenemos las las raices; ahora evaluamos cada enunciado:

La suma de sus raices es igual a -3:

                                    $\dfrac{-3+\sqrt{37} }{2}+\dfrac{-3-\sqrt{37} }{2}$

Dado que tenemos la suma de dos fracciones homogéneas (con un mismo denominador) podemos reescribirla de la siguiente forma:

$\dfrac{-3+\sqrt{37}-3-\sqrt{37} }{2}\\ \\ \\\dfrac{-3+\sqrt{\not{37}}-3-\sqrt{\not{37}} }{2}\quad\Longrightarrow\textbf{Reduces t\'erminos semejantes.}\\ \\ \\\dfrac{-3-3}{2}\\ \\ \\-\dfrac{\not{6}}{\not{2}}\quad\Longrightarrow\textbf{Simplificas}\\ \\ \\-3\quad\Longrightarrow\boxed{\textbf{Primer enunciado VERDADERO.}}$

El producto de sus raices es igual a -7:

                                        $\left(\dfrac{-3+\sqrt{37} }{2}\right)\left(\dfrac{-3-\sqrt{37} }{2}\right)$

Dado que tenemos el producto de dos fracciones, es lícito reescribirla de la siguiente forma:

                                           $\dfrac{(-3+\sqrt{37})(-3-\sqrt{37}) }{2\cdot{2}}$

En el numerador tenemos una suma por la diferencia de dos binomios, y la resolvemos con la siguiente fórmula:

             $\textbf{F\'ormula}\quad\Longrightarrow\boxed{\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}}$

                                               $\dfrac{(-3)^2-(\sqrt{37})^2 }{4}$

El exponente par cancela el signo negativo del primer término y destruye la raíz del segundo término, obteniendo:

$\dfrac{9-37}{4}\\ \\ \\\dfrac{-28}{4}\\ \\ \\-\dfrac{\not{28}}{\not{4}}\quad\Longrightarrow\textbf{Simplificas}\\ \\ \\-7\quad\Longrightarrow\boxed{\textbf{Segundo enunciado VERDADERO.}}$      

Dado que los dos enunciados son verdaderos, en consecuencia:

RESPUESTA: A. (1) es verdadera y (2) es verdadera.