Question

En física es importante usar aproximaciones matemáticas. Demuestre que, para ángulos pequeños( < 20°),tanα ≈ senα ≈ α =πα´/180°
donde α está en radianes y α´en grados.

Answer 1

La aproximación para ángulos pequeños nace de la utilización del polinomio de taylor de primer grado en las funciones seno y tangente. Es decir la aproximación lineal. La expresión general para tal polinomio es:

$f(x)\simeq f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

Donde x está en un entorno de un punto de referencia x=x0. Como en este caso es x0=0, el polinomio queda:

$f(x)\simeq f(0)+f'(0).x$

Si hacemos f(x)=sen(x) queda:

$sen(x)\simeq sen(0)+cos(0).x\\\\sen(x)\simeq x$

Para el caso de f(x)=tan(x) tenemos;

$(tan(x))'=\frac{cos^2(x)+sen^2(x)}{cos^2(x)}=\frac{1}{cos^2(x)}\\\\tan(x)\simeq tan(0)+\frac{1}{cos^2(0)}x\\\\tan(x)\simeq x$

Si queremos que el error de aproximación sea, por ejemplo menor al 10%, acotamos el siguiente término a ese valor, vamos a hacerlo con la función seno:

$|\frac{-cos(x)}{3!}x^3|<0,1\\|-cos(x).x^3|<0,6\\cos(x)\simeq 1=>|x^3|<0,6\\\\|x|<0,84=48\°$

Y para el ángulo de 48° efectivamente el error ya asciende al 13%. Por lo que se puede concluir que esta aproximación es fiable para ángulos de entre -20° y 20°.