Question

Ejercicio 3.- Considera el sistema dado por AX = B A = α 2 −1 0 1 2 3 4 α   , B =   1 α − 2 3   y X =   x y z   . a) [0’75 puntos] Determina, si existen, los valores de α para los que el sistema tiene soluci ́on ́unica. Halla todas las soluciones en dichos casos. Prueba de Selectividad, Comunidad de Andalucia, Modelo 1 2014-2015, MATEMATICAS II

Answer 1

Para α≠3 y 5 el sistema es compatible determinado y tiene solución única.

Calculamos el determinante de la matriz de los coeficientes y lo igualamos a cero:

$|A| = \left[\begin{array}{ccc}\alpha &2&-1\\0&1&2\\3&4&\alpha \end{array}\right]$ = α² - 8α + 15 = 0   α=3; α=5

                 R(A)     R(M)

α = 3           2           2       → Sistema compatible indeterminado

α = 5           2           3       → Sistema incompatible

α=3 y 5      3            3      → Sistema compatible determinado

Para α=3 y 5 el sistema es compatible determinado y tiene solución única. Lo resolvemos  por Cramer

$x = \frac{\left[\begin{array}{ccc}\alpha &2&-1\\\alpha -2&1&2\\3&4&\alpha \end{array}\right] }{\left[\begin{array}{ccc}\alpha &2&-1\\0&1&2\\3&4&\alpha \end{array}\right] } = \frac{-2\alpha ^{2} +\alpha +15 }{\alpha ^{2} -8\alpha + 15}$

$y = \frac{\left[\begin{array}{ccc}\alpha &1&-1\\0&\alpha -2&2\\3&3&\alpha \end{array}\right] }{\left[\begin{array}{ccc}\alpha &2&-1\\0&1&2\\3&4&\alpha \end{array}\right] } = \frac{\alpha ^{3}-2\alpha ^{2} -3\alpha }{\alpha ^{2} -8\alpha +15}$

$z = \frac{\left[\begin{array}{ccc}\alpha &2&1\\0&1&\alpha-2 \\3&4&3\end{array}\right] }{\left[\begin{array}{ccc}\alpha &2&-1\\0&1&2\\3&4&\alpha \end{array}\right] } =\frac{-4\alpha ^{2} +17\alpha -15}{\alpha ^{2} -8\alpha +15}$