Question

sec t csc t + cot t = tan t + 2 cos t csc t este ejercicio de que libro de trigonométrica es me podrían ayudar

Answer 1

Hemos demostrado que la expresión sec(t)*csc(t)+ cot(t) = tan(t) + 2cos(t) csc(t)  es valida siempre para todo "t"

Queremos demostrar que:

sec(t)*csc(t)+ cot(t) = tan(t) + 2cos(t) csc(t)

Para esto usaremos las propiedades basicas:

sec(t) = 1/cos(t)

csc(t) = 1/sen(t)

cot(t) = 1/tg(t) = cos(t)/sen(t)

sen²(t) + cos²(t) = 1

Recordemos que el simbolo "⇔" representa si y solo si:

El término de la derecha de la ecuación:

sec(t)*csc(t)+ cot(t) = (1/cos(t))*(1/sen(t)) + cos(t)/sen(t)

= 1/((cos(t)*sen(t)) + cos(t)/sen(t)

= ( 1 + cos²(t))/((cos(t)*sen(t))     (1)

El segundo término de la ecuación:

tan(t) + 2cos(t) csc(t) = sen(t)/cos(t) + 2*cos(t)*(1/sen(t))

= sen(t)/cos(t) + 2cos(t)/sen(t)

= (sen²(t) + 2cos²(t))/(cos(t)*sen(t))   (2)

Usando las ecuaciones 1 y 2: tenemos que:

sec(t)*csc(t)+ cot(t) = tan(t) + 2cos(t) csc(t)

( 1 + cos²(t))/((cos(t)*sen(t)) = (sen²(t) + 2cos²(t))/(cos(t)*sen(t))

⇔ 1 + cos²(t) = sen²(t) + 2cos²(t)

⇔ 1 = sen²(t) + 2 cos²(t) - cos²(t)

⇔ 1 = sen²(t) + cos²(t)

Esto se cumple siempre: por propiedad trigonómetrica, entonces se demuestra (en el sentido contrario) que la expresión que tenemos es valida