Question

Un envase de lata cerrado de 80 pulg3 de volumen tiene forma de un cilindro circular recto. Determine
¿Qué dimensiones hará que se utilice la mínima cantidad de lata en su elaboración?

Answer 1

Las dimensiones para miniminar la cantidad de material son:

h = 4.6701773 pulg

r = 2.33508865 pulg

El envase debe tener un volúmen de 80 pulg³: el volumen de un cilindro circular recto es de V = hπr²

hπr² = 80 pulg³

Como se quiere usar la cantidad minima de material entonces se quiere minimizar el área que es:

AT = 2π*r*h + 2π*r²

Minimizar 2π*r*h + 2π*r² = 2π(r*h + r²)

S.A. hπr² = 80 pulg³

De la condición despejamos h = 80 pulg³/πr²

Sustituimos en la condición a minimizar

2π(r*80 pulg³/πr² + r²)

2π(80 pulg³/πr + r²)

160 pulg³/r + 2πr²

Derivamos e igualamos a cero:

- 160 pulg³/r² + 4πr = 0

4πr = 160 pulg³/r²

4πr³ = 160 pulg³

r³ = 160 pulg³/4π = 40 pulg³/π

r = ∛40 pulg³/π = 2.33508865 pulg

Sustituimos en h = 80 pulg³/π(2.33508865 pulg)² = 4.6701773 pulg