Question

Determina la suma de la siguiente progresión geométrica, el primer término es 2 y el sexto es 243

Answer 1

La suma de la progresión geométrica planteada es $S=245+3\sqrt[5]{16}+9\sqrt[5]{8}+27\sqrt[5]{4}+81.\sqrt[5]{2}$

Explicación paso a paso:

Si en la progresión geométrica el primer término es 2 y el sexto es 243, esto quiere decir lo siguiente:

$a_0=2\\a_5=r^{5}.a_0=2r^{5}=243$

Con lo cual la razón de la progresión es:

$r=\sqrt[5]{\frac{243}{2}}=\frac{3}{\sqrt[5]{2}}=\frac{5}{2^{\frac{1}{5}}}$

En una progresión geométrica la suma de los términos de 0 a n es:

$S=\sum_{i=0}^{n}a_i=\sum_{i=0}^{n}r^ia_0=a_0\sum_{i=0}^{n}r^i$

Y reemplazando por los valores que encontramos queda:

$S=2\sum_{i=0}^{6}(1+\frac{3}{2^{1/5}}+\frac{3^2}{2^{2/5}}+\frac{3^3}{2^{3/5}}+\frac{3^4}{2^{4/5}}+\frac{3^5}{2^{5/5}})\\\\S=2[\frac{2+3.2^{4/5}+9.2^{3/5}+27.2^{2/5}+81.2^{1/5}+243}{2}]\\\\S=245+3\sqrt[5]{16}+9\sqrt[5]{8}+27\sqrt[5]{4}+81.\sqrt[5]{2}$

Hasta donde se puede llegar calculando la suma de la serie.