Question

Una escalera de 25 pies de largo está apoyada en una casa, ver figura.
Si por alguna razón la base de la escalera se aleja del muro a un ritmo de 2 pies por segundo, la parte superior descenderá con un ritmo dado por:
r=2x/√(625-x^2 )
r medido en pies/s
donde x es la distancia que hay entre la base de la escalera y el muro
a) Calcular el ritmo o velocidad r cuando x es 7 pies
b) Calcular el ritmo o velocidad r cuando x es 15 pies
c) Encontrar el límite de r cuando x→25

Según cierta teoría medica el porcentaje de peligrosidad de un virus se mide en función del tiempo que lleva en el organismo, mediante la siguiente expresión, donde t es el tiempo en minutos
P(t)={at^2 si 0≤ t ≤5 (5t-6,5)/(0,5t+5) si t>5)
a) Hallar el valor de a para que la ecuación sea continua
b) Que ocurre con la peligrosidad con el paso indefinido del tiempo

Answer 1

En el primer caso, cuando la base de la escalera está a 7 pies de la pared la velocidad del extremo superior es 0,58 pies por segundo, y cuando está a 15 pies de la pared esta asciende a 1,5 pies por segundo, tendiendo a infinito cuando la distancia de la base de la escalera a la pared es de 25ft.

En el segundo caso, la función de evolución de la peligrosidad del virus es  continua si es a=111/1125, con el paso indefinido del tiempo la peligrosidad se establece en el 10%.

Explicación paso a paso:

Podemos suponer que la expresión que describe la rapidez con la que desciende el extremo superior es la misma en todo momento. Tenemos para x=7ft y x=15ft:

$r(7)=\frac{2.7}{\sqrt{625-7^2}}=0,58\frac{ft}{s}\\\\r(15)=\frac{2.15}{\sqrt{625-15^2}}=1,5\frac{ft}{s}$

Ahora vamos a hallar el límite cuando la distancia de la parte inferior de la escalera a la pared tiende a 25 pies:

$\lim_{x \to 25} \frac{2x}{\sqrt{625-x^2}}=\frac{ \lim_{x \to 25} 2x}{ \lim_{x \to 25} \sqrt{625-x^2}}=\frac{ 50}{ \lim_{x \to 25} \sqrt{625-x^2}}$

Podemos ver que el denominador tiende a cero, y por ende la función diverge y no existe tal límite. La función r(x) tiende a infinito cuando x tiende a 25 y si lo vemos graficamente, corresponde al instante en que la escalera está en el suelo.

En cuanto a la función de la evolución de la peligrosidad del virus, la única posible discontinuidad está en el punto donde cambia de tramo que es t=5. Para que una función f(x) sea continua en un punto x0, f(x0) tiene que estar definida y además debe ser:

$\lim_{x \to x_0^{-}} f(x)= \lim_{x \to x_0^{+}} f(x)$

trasladando esto a nuestro caso tenemos:

$\lim_{t \to 5^{-}} f(t)= \lim_{t \to 5^{+}} f(t)\\\\ \lim_{t \to 5^{-}} at^2= \lim_{t \to 5^{+}} \frac{5t-6,5}{0,5t+5}\\\\25a=\frac{5.5-6,5}{0,5.5+5}\\\\25a=\frac{111}{45}\\\\a=\frac{111}{1125}$

Para analizar la peligrosidad con el paso indefinido del tiempo hallamos el límite cuando t tiende a infinito, lo hacemos con el segundo tramo ya que es el que se prescribe para t>5:

$\lim_{t \to \infty} \frac{5t-6,5}{0,5t+5}$

Nos queda una indeterminación de tipo infinito sobre infinito, la salvamos dividiendo numerador y denominador por t:

$\lim_{t \to \infty} \frac{\frac{5t-6,5}{t}}{\frac{0,5t+5}{t}}\\ \\ \lim_{t \to \infty} \frac{5-\frac{6,5}{t}}{0,5+\frac{5}{t}}=10$

Concluimos que el porcentaje de peligrosidad se establece alrededor del 10%.