Question

Se desea fabricar tiendas de campaña utilizando una lona cuadrada de 6 metros de lado. Se ha diseñado un modelo piramidal trazando un cuadro interior concéntrico (su centro es el mismo del cuadrado mayor), a partir de cada lado del cuadrado interior se trazan triángulos cuyos vértices se encuentren a la mitad de cada lado de la lona y cortar las paredes de las esquinas como muestra la figura, de manera que las cuatro paredes triangulares se puedan doblar y con ello, armar una tienda con forma de pirámide cuadrangular. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la tienda para presentar una mayor capacidad?

Answer 1

Para que la carpa tenga la mayor capacidad posible su base tiene que tener 2,4 metros de lado y su altura ser de 1,34 metros.

Explicación paso a paso:

La expresión del volumen de una pirámide de base cuadrada es:

$W=\frac{1}{3}l^2h$

Donde l es la longitud del lado de la base y h la altura de la pirámide. Nosotros disponemos de la altura de la cara lateral que vamos a llamar 'g'. La altura de la pirámide resulta:

$h=\sqrt{(g)^2-(\frac{l}{2})^2}$

Y de acuerdo a la geometría de la figura original 'g' equivale a esta expresión:

$g=\frac{6-l}{2}=3-\frac{l}{2}$

Por lo que la altura de la pirámide queda:

$h=\sqrt{(3-\frac{l}{2})^2-(\frac{l}{2})^2}\\\\h=\sqrt{9-\frac{6}{2}l+(\frac{l}{2})^2-(\frac{l}{2})^2}=\sqrt{9-3l}$

La expresión del volumen queda:

$V=\frac{1}{3}l^2\sqrt{9-3l}=\frac{1}{3}\sqrt{9l^4-3l^5}$

Para obtener el volumen máximo, tenemos que derivar esta función volumen e igualarla a cero, tenemos:

$V'=\frac{1}{3}\frac{1}{2\sqrt{9l^4-3l^5}}.(36l^3-15l^4)=0\\\\36l^3-15l^4=0\\36-15l=0\\\\l=2,4m$

Con este dato tenemos para la altura:

$h=\sqrt{9-3.2,4m}\\\\h=1,34m$