resuelve las siguientes escuaciones usando la formula general para resolver ecuaciones cuadraticas a.x2+3x-10=0 b.x2-3x-4=0 c.-x2-4x-2=0 d.-2x2-x=6 e.(x+2)2+1=0 f.(x+3)2-4=0 g.-0,5x2+2x+1.5=0 h.1,5x2+2x=0
Respuestas
Una Ecuación Cuadrática o de Segundo Grado es de la forma;
Ax² + Bx + C = 0
Para hallar los valores de las Raíces se utiliza la Resolvente:
X1,2 = {– B ± √[(B)² – 4AC]} ÷ 2A
Donde:
A: coeficiente que acompaña al termino cuadrático.
B: coeficiente que acompaña al termino elevado a la unidad.
C: Coeficiente del término independiente o constante.
Resolviendo.
a) x² + 3x – 10 = 0
A = 1; B = 3; C = – 10
X1,2 = {– (3) ± √[(3)² – 4(1)(– 10)]} ÷ 2(1)
X1,2 = {– 3 ± √(9 + 40)} ÷ 2
X1,2 = {– 3 ± √49} ÷ 2
X1,2 = {– 3 ± 7} ÷ 2
X1 = {– 3 + 7} ÷ 2
X1 = 4 ÷ 2
X1 = 2
X2 = {– 3 – 7} ÷ 2
X2 = – 10 ÷ 2
X2 = – 5
b) x² – 3x – 4 = 0
A = 1; B = – 3; C = – 4
X1,2 = {– (– 3) ± √ [(– 3)² – 4(1)(– 4)]} ÷ 2(1)
X1,2 = {3 ± √(9 + 16)} ÷ 2
X1,2 = {3 ± √25} ÷ 2
X1,2 = {3 ± 5} ÷ 2
X1 = {3 + 5} ÷ 2
X1 = 8 ÷ 2
X1 = 4
X2 = {3 – 5} ÷ 2
X2 = – 2 ÷ 2
X2 = 1
c) x² – 4x – 2 = 0
A = 1; B = – 4; C = – 2
X1,2 = {– (– 4) ± √[(– 4)² – 4(1)( – 2)]} ÷ 2(1)
X1,2 = {4 ± √(16 + 8)} ÷ 2
X1,2 = {4 ± √24} ÷ 2
X1,2 = {4 ± 4,9} ÷ 2
X1 = {4 + 4,9} ÷ 2
X1 = 8,9 ÷ 2
X1 = 4,45
X2 = {4 – 4,9} ÷ 2
X2 = – 0,9 ÷ 2
X2 = – 0,45
d) 2x² – x = 6
Ordenando la ecuación:
2x² – x – 6 = 0
A = 2; B = – 1; C = – 6
X1,2 = {– (– 1) ± √[(– 1)² – 4(2)(– 6)]} ÷ 2(2)
X1,2 = {1 ± √(1 + 48)} ÷ 4
X1,2 = {1 ± √49} ÷ 4
X1,2 = {1 ± 7} ÷ 4
X1 = {1 + 7} ÷ 4
X1 = 8 ÷ 4
X1 = 2
X2 = {1 – 7} ÷ 4
X2 = – 6 ÷ 4
X2 = – 3/2 = – 1,5
e) (x + 2)² + 1 = 0
Desarrollando la ecuación.
x² + 4x + 4 + 1 = 0
x² + 4x + 5 = 0
A = 1; B = 4; C = 5
X1,2 = {– (4) ± √[(4)² – 4(1)(5)]} ÷ 2(1)
X1,2 = {– 4 ± √(16 – 20)} ÷ 2
X1,2 = {– 4 ± √(– 4)} ÷ 2
La base de los Números Complejos es:
√– 1 = i
X1,2 = {– 4 ± √(– 4)} ÷ 2
X1,2 = {– 4 ± i√4} ÷ 2
X1,2 = {– 4 ± 2i} ÷ 2
X1 = {– 4 + 2i} ÷ 2
X1 = – 2 + i
X2 = {– 4 – 2i} ÷ 2
X2 = – 2 – i
f) (x + 3)² – 4 = 0
Desarrollando la ecuación.
x² + 6x + 9 – 4 = 0
x² + 6x + 5 = 0
A = 1; B = 6; C = – 4
X1,2 = {– (6) ± √[(6)² – 4(1)(– 4)]} ÷ 2(1)
X1,2 = {– 6 ± √(36 + 16)} ÷ 2
X1,2 = {– 6 ± √52} ÷ 2
X1,2 = {– 6 ± 7,2} ÷ 2
X1 = {– 6 + 7,2} ÷ 2
X1 = 1,2 ÷ 2
X1 = 0,6
X2 = {– 6 – 7,2} ÷ 2
X2 = {– 13,2} ÷ 2
X2 = – 6,6
g) 0,5x² + 2x + 1,5 = 0
A = 0,5; B = 2; C = 1,5
X1,2 = {– (2) ± √[(2)² – 4(0,5)(1,5)]} ÷ 2(0,5)
X1,2 = {– 2 ± √(4 – 3)} ÷ 1
X1,2 = {– 2 ± √1}
X1,2 = – 2 ± 1
X1 = – 2 ± 1
X1 = – 1
X2 = – 2 – 1
X2 = – 3
h) 1,5x² + 2x = 0
A = 1,5; B = 2; C = 0
X1,2 = {– (2) ± √(2)² – 4(1.5)(0)]} ÷ 2(1,5)
X1,2 = {– 2 ± √(4 – 0)} ÷ 2(1,5)
X1,2 = {– 2 ± √4} ÷ 3
X1,2 = {– 2 ± 2} ÷ 3
X1 = {– 2 + 2} ÷ 3
X1 = 0
X2 = {– 2 – 2} ÷ 3
X2 = – 4 ÷ 3
X2 = – 4 = 1,33…..
Para cada una de las ecuaciones cuadráticas mostradas, se obtienen los siguientes valores aplicando la fórmula general:
- a: x = 2 y x = -5.
- b: x = 4 y x = -1.
- c: x = -3,414 y x = -0,586.
- d: No tiene solución dentro del conjunto de los números reales.
- e: No tiene solución dentro del conjunto de los números reales.
- f: x = -1 y x = -5.
- g: x = -0,646 y x = -4,646.
- h: x = 0 y x = -1,33.
¿Qué es una Ecuación de Segundo Grado?
Se trata de una ecuación de la forma "ax² + bx + c = 0", donde "a" debe ser distinto de cero, y que puede tener dos, una o ninguna solución.
Las soluciones o raíces de la ecuación, se consiguen con la expresión:
x = [-b ± √(b² - 4ac)]/2a
- a: x² + 3x - 10 = 0
Las raíces de la ecuación, se calculan tomando: a = 1, b = 3 y c = -10.
x = [-3 ± √(3² - 4 * 1 * -10)]/(2 * 1)
x = [-3 ± √(9 + 40)]/2
x = [-3 ± √(49)]/2
x = (-3 ± 7)/2
Se tienen dos soluciones:
x = (-3 + 7)/2
x = 4/2
x = 2
x = (-3 - 7)/2
x = -10/2
x = -5
- b: x² - 3x - 4 = 0
Las raíces de la ecuación, se calculan tomando: a = 1, b = -3 y c = -4.
x = [-(-3) ± √((-3)² - 4 * 1 * -4)]/(2 * 1)
x = [3 ± √(9 + 16)]/2
x = [3 ± √(25)]/2
x = (3 ± 5)/2
Se tienen dos soluciones:
x = (3 + 5)/2
x = 8/2
x = 4
x = (3 - 5)/2
x = -2/2
x = -1
- c: -x² - 4x - 2 = 0
Las raíces de la ecuación, se calculan tomando: a = -1, b = -4 y c = -2.
x = [-(-4) ± √((-4)² - 4 * -1 * -2)]/(2 * -1)
x = [4 ± √(16 - 8)]/(-2)
x = [4 ± √(8)]/(-2)
x = (4 ± 2,828)/(-2)
Se tienen dos soluciones:
x = (4 + 2,828)/(-2)
x = 6,828/-2
x = -3,414
x = (4 - 2,828)/(-2)
x = 1,172/-2
x = -0,586
- d: -2x² - x = 6
Se reescribe la ecuación como: 2x² + x + 6 = 0
Las raíces de la ecuación, se calculan tomando: a = 2, b = 1 y c = 6.
x = [-1 ± √(1² - 4 * 2 * 6)]/(2 * 2)
x = [-1 ± √(1 - 48)]/4
x = [-1 ± √(-47)]/4
Esta ecuación no tiene solución dentro del conjunto de los números reales debido a que contiene una raíz cuadrada con radicando negativo.
- e: (x + 2)² + 1 = 0
Se reescribe la ecuación como: x² + 4x + 5 = 0
Las raíces de la ecuación, se calculan tomando: a = 1, b = 4 y c = 5.
x = [-4 ± √(4² - 4 * 1 * 5)]/(2 * 1)
x = [-4 ± √(16 - 20)]/2
x = [-4 ± √(-4)]/2
Esta ecuación no tiene solución dentro del conjunto de los números reales debido a que contiene una raíz cuadrada con radicando negativo.
- f: (x + 3)² - 4 = 0
Se reescribe la ecuación como: x² + 6x + 5 = 0
Las raíces de la ecuación, se calculan tomando: a = 1, b = 6 y c = 5.
x = [-6 ± √(6² - 4 * 1 * 5)]/(2 * 1)
x = [-6 ± √(36 - 20)]/2
x = [-6 ± √(16)]/2
x = (-6 ± 4)/2
Se tienen dos soluciones:
x = (-6 + 4)/2
x = -2/2
x = -1
x = (-6 - 4)/2
x = -10/2
x = -5
- g: -0,5x² + 2x + 1,5 = 0
Se puede multiplicar la ecuación por 2, y se reescribe: -x² + 4x + 3 = 0
Las raíces de la ecuación, se calculan tomando: a = -1, b = 4 y c = 3.
x = [-4 ± √(4² - 4 * -1 * 3)]/(2 * -1)
x = [-4 ± √(16 + 12)]/-2
x = [-4 ± √(28)]/-2
x = (-4 ± 5,292)/-2
Se tienen dos soluciones:
x = (-4 + 5,292)/-2
x = 1,292/-2
x = -0,646
x = (-4 - 5,292)/-2
x = -9,292/-2
x = -4,646
- h: 1,5x² + 2x = 0
Se puede multiplicar la ecuación por 2, y se reescribe: 3x² + 4x = 0
Las raíces de la ecuación, se calculan tomando: a = 3, b = 4 y c = 0.
x = [-4 ± √(4² - 4 * 3 * 0)]/(2 * 3)
x = [-4 ± √(16 - 0)]/6
x = [-4 ± √(16)]/6
x = (-4 ± 4)/6
Se tienen dos soluciones:
x = (-4 + 4)/6
x = 0
x = (-4 - 4)/6
x = -8/6
x = -1,33
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